Discuter:Nombre complexe

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Sommaire

1 Utilisation pour edp
2 Définition
3 Remaniements
4 i
5 Article de qualité?
6 À recycler
- 6.1 Les nombres complexes et les vecteurs
  - 6.1.1 Multiplication imaginaire
- 6.2 Commentaires sur cette vulgarisation

[modifier] Utilisation pour edp

si mes souvenirs sont exacts, je crois que les transformations du plan complexe permettent également de travailler facilement dans l'aerodynamique / hydrodynamique. toutefois, je demande l'avis de spécialistes .... ffa

[modifier] Définition

L'ancienne définition :

L'ensemble des complexes est constitué par tous les couples de deux réels? a et b, noté (a,b).

Représente l'ensemble {R x R} noté également R², ce qui est bien évidemment différent de C. Il existe une fonction projetant C dans R² qui est bijective, ce qui n'empéche pas que ce soit deux corps (?) différents.

hashar

Pour la définition, je suis d'accord. Tout a fait d'accord même... mea culpa.... :p

Pour l'hydro, je vais m'y atteler... en essayant de faire moins de fotes :)

merci bcp

barmyb_99

[modifier] Remaniements

Bon, j'ai pratiqué une chirurgie sévère pour remanier cet article: il y avait carrément une sorte de construction des nombres complexes, qui ne me semble pas à sa place ici.

Par contre, la partie historique avec les motivations, me botte carrément!

Je n'ai pas encore repris la partie sur la forme trigonométrique, et vers la fin du texte, la partie "motivations" est d'origine: je l'ai copié et édité sur place dans "Histoire" (ou un titre du genre), ce n'est pas fini non plus.

J'hésite...

Snark 11:14 fév 7, 2003 (CET)

J'ai enlevé la partie qui traitait de la "rentabilisation économique des nombres complexes" car son niveau de langue n'était pas acceptable. C'est l'ensemble de cet article qui mériterait d'être modifié car il fait peine à voir si on le compare son équivalent en anglais.

J'ai remanié la partie parlant de « schizophrénie ». Je ne vois pas ce que l'on gagne à obscurcir un concept relativement simple (le fait que l'on ait défini les nombres complexes sans qu'ils aient une intuition matérielle immédiate et évidente) par l'usage d'un vocabulaire psychiatrique. David.Monniaux 10 décembre 2005 à 12:13 (CET)

Je trouve aussi que l'article mériterait un remaniement sur le fond. Il emploie une sorte de langage infantilisant en espérant que cela aide à faire de la bonne vulgarisation, ce que je conteste avec vigueur, et j'y lis des choses comme "Nous allons adopter ici une notation propre (qui n'existe nulle part ailleurs dans la littérature), afin de simplifier la compréhension", ce qui me fait froid dans le dos. RamaR 11 décembre 2005 à 09:20 (CET)

J'essaie de reprendre la partie vulgarition, qui me semble extrêmement faible et part un peu dans tous les sens. J'essaie de me baser sur la démarche adoptée, qui semble cohérente, et de rajouter un peu de liant. Le danger, c'est que je fasse perdre le côté vulgarisation précisément... J'espère que d'autre contributeurs contrôleront et qu'on pourra échanger.Salle 19 mars 2006 à 13:14 (CET)

Voilà, j'ai modifié les dux premières parties du paragraphe vulgarisation : "x et i" et "nombres et vecteurs". La partie "Multiplication imaginaire" est moins aberrante, dans un certain sens, que ne l'étaient les autres. En revanche, je ne vois pas bien quels objectifs y sont poursuivis ; il me semble qu'elle pourrait servir à montrer que les opérations algébriques sur les nombres pevent être définies comme des mouvements géométriques sur les vecteurs, mais il n'est pas très clair que ce soit fait. A revoir, en tout cas, mais je n'y touche pas pour le moment.Salle 19 mars 2006 à 14:49 (CET)

[modifier] i

Bien que $i 2 = - 1$ , ca n'implique pas que $i=\sqrt{-1}$ . C'est une erreur courante. La racine n'est pas definier a ce moment pour les nombres complexes, et apres definition c'est de plus valeur.130.89.220.215 24 janvier 2006 à 15:28 (CET)

[modifier] Article de qualité?

Après la lecture de cet article, je pense qu'il faudrai le proposer comme article de qualité. Qu'en pensez vous? je toruve que l'article est très bien expliqué, donc accessible à beacoup de personnes. antoinou2958 1 novembre 2006 à 10:52 (CET)

A mon avis certaines parties ne sont pas assez développées comme la partie historique, l'approche matricielle. Pas de racine nème d'un nombre complexe, ... Oxyde

[modifier] À recycler

La partie de « vulgarisation », en particulier le paragraphe sur « x et i », manifestement inspirée d'un livre d'Albert Jacquart, qui aussi sympathique soit-il, n'est pas mathématicien, regorge d'approximations douteuses. À réécrire par quelqu'un qui en aurait le temps… --DSCH (pour m'écrire) 5 février 2007 à 00:07 (CET)

Je me demande s'il y a quelque chose à récupérer de cette partie de vulgarisation. Il est possible de régler ces problèmes d'approximations douteuses, mais je pense que cette vulgarisation s'appuie sur les vecteurs qui ne sont pas une notion élémentaire, alors que les nombres complexes peuvent être utilisés sans faire de la géométrie vectorielle. Sans doute cette partie pourait faire une belle introduction d'un article sur les nombres complexes qui s'adresse à un public maîtrisant déjà parfaitement le sujet. Ne serait-il pas plus simple de faire migrer cette approche vers wikilivres ? Oxyde 11 février 2007 à 11:39 (CET)

Je déplace cette partie qui ne me paraît pas être une approche:

[modifier] Les nombres complexes et les vecteurs

Étant un nombre imaginaire, $i$ n’appartient pas à $\mathbb{R}$ . On sait additionner, et multiplier des nombres réels, mais il n'y a a priori pas de sens à effectuer des calculs faisant intervenir $i$ . Pourtant, dans les procédés de résolution des équations du troisième degré, de tels calculs apparaissent. Il nous faut donc essayer de donner un sens à des opérations telles que $a \cdot i$ et $a + i \; (a \in \mathbb{R})$ . Il existe déjà un domaine dans lequel on effectue une telle multiplication « hétérogène » : celui des vecteurs. Nous savons qu'un vecteur peut être multiplié « à gauche » par un scalaire. Mais il n'en n'est pas de même pour la loi d'addition qui est interne et qui ne permet d'additionner que des vecteurs entre eux et non un scalaire avec un vecteur. Nous allons donc devoir considérer, selon les besoins, un nombre réel comme un scalaire ou comme un vecteur. Nous allons adopter une nouvelle notation pour désigner le vecteur correspondant au nombre complexe considéré. Plaçons-nous dans un plan géométrique muni d’un repère $(O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , l’axe des abscisses représente l'ensemble des nombres réels. Nous allons noter $\vec{1}$ le vecteur $\overrightarrow{u}$ ; le vecteur $\vec{i}$ est le vecteur $\overrightarrow{v}$ . On appelle ce plan le plan complexe, mais les notations des vecteurs associés aux nombres complexes ne sont pas habituelles.

Nous allons faire le lien entre les calculs classiques sur les scalaires et ces vecteurs $\vec{1}$ et $\vec{i}$ et les calculs faisant intervenir les nombres réels et le nombre imaginaire i. Le plan complexe sera donc un modèle géométrique pour représenter les nombres réels et imaginaires, et les opérations entre eux.

Afin de simplifier la compréhension, de bien séparer les concepts, nous utilisons cette notation non standard, qui permet de distinguer les nombres (réels ou imaginaires) de la représentation géométrique de ces nombres à l'aide de vecteurs :

le vecteur $\vec{1}$ va servir de représentation géométrique pour le nombre réel 1
le vecteur $\vec{i}$ va servir de représentation géométrique l’inconnu imaginaire i.

Un réel quelconque $a$ étant égal à $a\cdot 1$ , nous allons représenter $a$ par le vecteur $a\cdot \vec{1}$ . La multiplication par un réel correspondra donc à la multiplication par un scalaire.

Ainsi, l’expression $a+b\cdot i$ sera représentée par le vecteur $a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}$ .

Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites

Nous pouvons donc considérer un vecteur quelconque $\vec{z} = a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}$ de ce plan, et nous allons étudier ses propriétés, sachant qu’il doit obéir à certaines règles puisqu’il représente une expression dans une équation.

Pour nous simplifier l’écriture, si a est un réel, nous nous permettrons de l'écrire $\vec{a}$ plutôt que $a \cdot \vec{1}$ (on peut ainsi écrire $\vec{5}$ ).

[modifier] Multiplication imaginaire

L'addition des réels correspond parfaitement à l'addition vectorielle, nous ne nous attarderons donc pas plus là-dessus (bien qu’en toute rigueur, l’addition nécessiterait une étude aussi poussée que la multiplication).

Pour la multiplication en revanche, on est face à une ambiguïté par rapport aux vecteurs géométriques classiques : le scalaire est lui-même un vecteur. Ainsi, l'expression classique a · b (a et b étant réels) peut se traduire à la fois par $a \cdot (b \cdot \vec{1})$ , par $b \cdot (a \cdot \vec{1})$ , par $(a \cdot b) \cdot \vec{1}$ , donc par $a \cdot \vec{b}$ et par $b \cdot \vec{a}$ … On voit que a et b ont un rôle symétrique, et que l'on a en fait… une opération entre deux vecteurs, un « produit » de vecteurs mais qui n'est ni un produit scalaire puisque le résultat est un vecteur (le résultat de la multiplication par $\vec{i}$ n’est pas un scalaire), ni un produit vectoriel puisque le résultat est dans le plan.

Nous allons donc devoir inventer une nouvelle opération, que nous allons appeler « produit imaginaire » et noter ×. Comme toutes les opérations sur les vecteurs, il s'agit en fait d'une construction géométrique, nous allons commencer par étudier la transformation des vecteurs de la base pour pouvoir l’étendre à tout le plan.

On a donc :

$\vec{1} \times \vec{1} = \vec{1}$
$\vec{1} \times \vec{i} = \vec{i}$
$\vec{i} \times \vec{i} = -1 \cdot \vec{1}$ d’après l’égalité (1) vu au paragraphe en haut (x²+1=0)

On voit que dans le plan, multiplier par $\vec{1}$ revient à ne rien changer, et multiplier par $\vec{i}$ revient à faire une rotation d’un quart de tour dans le sens positif. Cette multiplication est donc, entre autres, une rotation.

Multiplication imaginaire des vecteurs de la base

Si maintenant on considère $\vec{a} \times \vec{b}$ , qui est égal à $\overrightarrow{a \cdot b}$ puisque (a · b) est lui-même un réel, on voit que c’est une homothétie, une dilatation ; $\vec{b}$ est dilaté d’une quantité $||\vec{a}||$ .

En fait, on voit que si l’on prend un vecteur $\vec{u}$ quelconque du plan, si α est l’angle qu’il fait avec l’axe des réels, alors la multiplication imaginaire d’un autre vecteur $\vec{v}$ par $\vec{u}$ revient à faire

une rotation d’angle α ;
une dilatation de $||\vec{u}||,$

c’est-à-dire une similitude directe (une transformation géométrique qui conserve les angles et l’orientation).

Construction graphique de la multiplication imaginaire

On donne ainsi un sens à une écriture de type

$(a_1 \cdot \vec{1} + a_2 \cdot \vec{i}) \times (b_1 \cdot \vec{1} + b_2 \cdot \vec{i})$

qui est la traduction de l’expression

(a₁ + a₂ · i)·(b₁ + b₂ · i).

[modifier] Commentaires sur cette vulgarisation

Les nombres complexes peuvent parfois susciter un certain malaise chez certains élèves et étudiants (illustré par une scène du film Les Désarrois de l’élève Törless de Volker Schlöndorff) : i est un « extra-réel », un « E.R. » (avec la même connotation que « E.T. l'extraterrestre »), un intermédiaire de calcul encombrant que l’on a donc placé sur un autre axe. La présentation géométrique permet de démystifier les nombres complexes et d’en donner une intuition.

La multiplication dans le plan complexe est une construction géométrique au même titre que d'autres qui, appliquée aux réels, se résume à la multiplication simple, et qui, appliquée à un réel et à un complexe quelconque, se résume au produit d'un vecteur par un scalaire. L'écriture « a + b · i » peut être vue comme un abus d'écriture qui consiste à mettre sur le même plan les scalaires et les vecteurs, ce qui ici est légitime.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../n/o/m/Discuter%7ENombre_complexe_f2d6.html »

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