Pile ou face

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Côté pile d'une pièce de 2 euros.

Côté face de cette même pièce

Le pile ou face est un jeu de hasard se jouant avec une pièce de monnaie. Le principe est de lancer une pièce équilibrée en l'air et de parier sur le coté sorti. La pièce tournoyante est rattrapée et se pose à plat dans la main.

Sommaire

1 Utilisation
2 Probabilités
- 2.1 Déterminer si la pièce est faussée
3 Dans les œuvres de fiction
4 Voir aussi

[modifier] Utilisation

On peut jouer au pile ou face en pariant sur une mise, jeu souvent présent dans les exercices de probabilité. Le lancer est l'exemple typique d'une épreuve de Bernoulli.

Ce jeu permet d'aider à la décision d'un choix binaire. On laisse alors le hasard choisir. En sport, l'arbitre lance une pièce pour savoir quelle équipe va choisir son coté de terrain.

[modifier] Probabilités

Le lancer de pièces suit une loi binomiale B(n, 0,5), n étant le nombre de lancers et 0,5 est la probabilité d'avoir chaque face, si les pièces sont équilibrées. Si une pièce n'est pas équilibrée, alors la face pile a une probabilité p ≠ 0,5 d'apparaitre, on a donc une loi binomiale B(n, p).

[modifier] Déterminer si la pièce est faussée

Si l'on jette la pièces plusieurs fois de suite, on ne va pas obtenir une alternance stricte de piles et de faces. La fréquence observée pour chaque événement va se voir s'approcher de la fréquence théorique sur un grand nombre de lancer, par exemple 100.

Si l'on jette la pièce deux fois de suites, on a l'arbre des évènements possibles suivant :

                    .
                   / \
                  /   \
premier lancer   p     f
                / \   / \
second lancer  p  f  p   f

on a donc une chance sur deux d'avoir deux fois la même figure (deux piles ou deux faces), et une chance sur deux d'avoir une alternance (pile puis face ou face puis pile).

Si l'on fait n lancers, pour savoir si la pièce est équilibrée (c'est-à-dire si l'on a effectivement 50 % de chances d'avoir chaque figure), il faut utiliser un test du χ² d'adéquation à un degré de liberté (puisqu'il y a deux résultats mais que leurs probabilités sont complémentaires). Le nombre de lancers minimal est de 10 (5 divisé par la fréquence théorique, 0,5, cf. Test du χ² > Conditions du test). Si l'on appelle O_p le nombre de lancers donnant « pile », le nombre de lancers donnant « face » est n - O_p. On a le tableau de résultats suivant :

Résultat de n lancers
Résultat	Nombre d'occurences
Pile	O_p
Face	n - O_p

Le χ² est

$\chi^2 = \frac{(O_p - n \times 0,5)^2}{n \times 0,5} + \frac{(n - O_p - n \times 0,5)^2}{n \times 0,5} = 0,5 n + \frac{O_p^2 - nO_p}{0,5 n}$

La probabilité p que la pièce soit équilibrée est déterminée en fonction des valeurs tabulées du χ². Par exemple, si le χ² est inférieur ou égal à 0,000 2, alors il y a 99 % de risque que la pièce soit équilibrée (1 % de chances qu'elle soit faussée) ; si le χ² est supérieur ou égal à 6,63, alors il y a 1 % de risque que la pièce soit équilibrée (99 % de chances qu'elle soit faussée).

Loi du χ² à un degré de liberté pour un test bilatéral
Fiabilité (p)	99 % (p = 0,99)	95 % (p = 0,95)	90 % (p = 0,9)	50 % (p = 0,5)	10 % (p = 0,1)	5 % (p = 0,05)	1 % (p = 0,01)	0,1 % (p = 0,001)
χ²	0,000 2	0,004	0,02	0,45	2,71	3,84	6,63	10,83

[modifier] Dans les œuvres de fiction

Dans Batman, le personnage de Double-Face utilise une pièce à deux faces identiques à l'exception d'une rayure de couteau sur l'une d'elle. C'est une pièce d'un dollar en argent dont les dimensions sont approximativement celles de la pièce de 10 francs en argent.