Résidu (analyse complexe)

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En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

[modifier] Définition et propriétés

Soit $D\subseteq\mathbb{C}$ un ouvert de $\mathbb{C}$ , $D f$ isolé dans $D$ et $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ une fonction holomorphe. Pour chaque point $a\in D$ , il existe un voisinage de a noté $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset\subset D$ relativement compact dans $D$ , telle que $f | U$ est holomorphe. La fonction $f$ possède dans ce cas un développement de Laurent sur $U$ :

$f|_U(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$ .

On définit ainsi le résidu de f en a par :

$\operatorname{Res}_af(z):=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f$

Le résidu d'une fonction holomorphe f en un point singulier a (pôle ou point singulier essentiel) est donc défini comme le coefficient de 1/(z-a) dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de a.

Le résidu est $\mathbb{C}$ -linéaire, c'est à dire que pour $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ on a : $\operatorname{Res}_a \left( \lambda f(z) + \mu g(z) \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f(z) + \mu\operatorname{Res}_a g(z)$ .

[modifier] Méthodes de calcul

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

soit à partir du développement de Laurent au voisinage de a
soit en utilisant la formule générale suivante, si $f$ possède en $a$ un pôle d'ordre $n$ :

$\operatorname{Res}_a f(z) = \frac{1}{\left(n-1\right)!}\lim\limits_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}(z-a)^nf(z)$

Pour deux fonctions $f$ et $g$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ , on a également les relations suivantes :

Si $f$ a en $a$ un pôle d'ordre 1 : $\operatorname{Res}_a f(z) = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)$
Si $f$ a en $a$ un pôle d'ordre 1 et si g est holomorphe en $a$ : $\operatorname{Res}_a g(z)f(z)=g(a)\operatorname{Res}_a f(z)$
Si $f$ a en $a$ un zéro d'ordre 1 : $\operatorname{Res}_a\frac{1}{f(z)} = \frac{1}{f'(a)}$
Si $f$ a en $a$ un zéro d'ordre 1 et si g est holomorphe en $a$ : $\operatorname{Res}_a\frac{g(z)}{f(z)} = \frac{g(a)}{f'(a)}$
Si $f$ a en $a$ un zéro d'ordre $n$ : $\operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}=n$ .
Si $f$ a en $a$ un zéro d'ordre $n$ et si g est holomorphe en $a$ : $\operatorname{Res}_a g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}=g(a)n$ .
Si $f$ a en $a$ un pôle d'ordre $n$ : $\operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}=-n$ .
Si $f$ a en $a$ un pôle d'ordre $n$ et si g est holomorphe en $a$ : $\operatorname{Res}_a g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}=-g(a)n$ .

[modifier] Exemples

$\operatorname{Res}_a f(z)=0$ quand $f$ est holomorphe en $a$ .
Soit $f(z)=\frac{1}{z}$ . $f$ a en $0$ un pôle d'ordre 1, et $\operatorname{Res}_0 f(z)=1$ .
$f(z) = \frac{\cos(z)}{z}= \frac{1}{z} - \frac {z}{2!} + \frac{z^3}{4!} - \cdots$ au voisinage de 0. Le résidu est vaut donc 1.
$\operatorname{Res}_1\frac{z}{z^2-1}=\frac{1}{2}$ , comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque $z\mapsto z^2-1$ a en $1$ un zéro d'ordre 1.
La fonction gamma a en $- n$ pour $n\in\mathbb{N}$ des pôles d'ordre 1, et le résidu vaut $\operatorname{Res}_{-n}\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}$ .

[modifier] Théorème des résidus

[modifier] Enoncé

Soit f une fonction holomorphe sur Ω , un ouvert étoilé, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble S⊂Ω. Alors si γ est un chemin fermé tracé dans Ω et ne rencontrant pas S, on a :

$\frac{1}{2\mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{z \in S} Ind_{\gamma} (z) Res (f,z)$