Somme numérique

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Il existe trois sens en mathématiques élémentaires pour le terme somme numérique.

1. Dans certaines bases, ajouter les chiffres d'un nombre ensemble.
2. Ajouter les chiffres d'un nombre ensemble, mais en enlevant toute retenue.
3. Dans certaines bases, ajouter certains nombres ensemble en enlevant chaque retenue chiffre à chiffre.

Le troisième sens est celui détaillé ci-dessous.

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La somme numérique en base b d'un ensemble de nombres entiers naturels est calculée comme ce qui suit : exprimer chaque nombre en base b, puis prendre la somme des chiffres correspondants et enlever toutes les retenues. C’est-à-dire, la somme numérique est la même chose que la somme normale à ceci près qu'aucune retenue n'est utilisée.

Par exemple en arithmétique de base 10, la somme numérique de 123 et 789 est 802 :

• 3 + 9 = 12, on enlève 10 en laissant 2.
• 2 + 8 = 10, on enlève 10 en laissant 0.
• 1 + 7 = 8, il n'y a pas de retenue à enlever.

123
789
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802

Habituellement, la somme numérique est calculée en binaire (base 2) où le résultat dépend seulement de s'il existe un nombre pair ou impair de 1 dans chaque colonne. C'est la même fonction que la parité ou le ou exclusif.

Par exemple :

011 (= 3)
100 (= 4)
101 (= 5)
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010 (= 2) est la somme numérique binaire de 3, 4 et 5.

La somme numérique binaire est importante pour la théorie du jeu de Nim.

La somme numérique en base b est une opération associative et commutative sur les nombres naturels; 0 est l'élément neutre et chaque nombre naturel possède un élément opposé pour cette opération. Les nombres naturels munis de la somme de base-b forment un groupe abélien; ce groupe est isomorphe à la somme directe du nombre dénombrable de copies de Z/bZ.