Structure presque complexe
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En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure complexe sur chaque espace tangent. Son importance est de taille.
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[modifier] Définition formelle
Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, id est une section globale du fibré vectoriel End(TM), vérifiant :
Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.
Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...
Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle-seule ne suffit pas :
Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de GL(2n,R) à GL(n,C).
[modifier] Exemples
Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :
- La sphère S2, vue comme le compactifié de ℂ.
- La sphère S6, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.
[modifier] Formes différentielles
Algèbre linéaire : un opérateur linéaire 
vérifiant l'identité A2 = − Id se réduit sur 
. Il admet deux espaces propres, E^+ et E^-, de valeurs propres respectives t et − i.
Structures presque complexes :
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Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.
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[modifier] Voir aussi
- Structure hermitienne
- Algèbre linéaire
- Géométrie symplectique
