Système masse-ressort

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Sommaire

1 Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un ressort
2 Amélioration
3 Autre Amélioration
4 Voir aussi
5 liens externes

[modifier] Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un ressort

On peut mettre en oscillation une masse soumise à l'action d'un ressort. On peut suivant les cas, réaliser des oscillations verticales ou des oscillations horizontales (en utilisant un dispositif permettant de minimiser les frottements sur le support).

Dans les deux cas, les oscillations sont harmoniques : la fonction du temps (x(t)) de la position de la masse de part et d'autre de la position d'équilibre (statique) est une fonction sinus. (Dans le cas de l'oscillateur vertical, l'effet de la pesanteur n'introduit qu'une translation de la position d'équilibre statique). La relation déduite de l'application du théorème du centre d'inertie peut s'écrire :

$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x = 0$ , avec $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

$ω 0$ est appelée pulsation propre de l'oscillateur harmonique. Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme $x = x_0 \sin(\omega_0 t + \varphi)$ , ce qui est caractéristique d'un oscillateur harmonique.

La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations) : elle ne dépend que de l'inertie du système (masse m) et de la caractéristique de la force de rappel (constante de raideur k du ressort) : $T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m}{k}$

Remarque : cet oscillateur est soumis à la conservation de l'énergie mécanique : celle-ci est de la forme $\frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E_0$ .
En dérivant membre à membre l'équation par rapport au temps on retrouve l'équation différentielle précédente.

[modifier] Amélioration

Ce qui précède est valable si la masse du ressort est négligeable par rapport à celle de la masse qui oscille. Si vous faites l'expérience, vous constaterez que la période est plus proche de : $T = 2\pi\cdot\sqrt\frac{m + \mu/3}{k}$ où

${\mu\;/3} =$ le tiers de la masse du ressort.
${m\;}$ = la masse suspendue au ressort.
$\ ~ {k\;}$ = la constante élastique ou raideur du ressort.

[modifier] Autre Amélioration

Ceci est denouveau une approximation. Une étude complète se trouve dans les liens externes. Chercher : "Etude de la période d'oscillation d'un ressort."
On montre que la période correcte d'oscillation est : $T = \frac{2\pi}{\Omega} \cdot \sqrt \frac{\mu}{k}$
où $\quad \Omega\; \quad$ est défini par la relation : $\quad \Omega \cdot tan ( \Omega ) = \frac{\mu}{m}$
${\mu\;}$ = la masse du ressort.
${m\;}$ = la masse suspendue au ressort.
$\ ~ {k\;}$ = la constante élastique ou raideur du ressort.

Une manière de calculer $\quad \Omega\; \quad$ est d'itérer : $\quad \Omega = arctan ( \frac{\mu}{m \cdot \Omega} \quad )$ en commençant par : $\quad \Omega = \sqrt \frac{\mu}{m + \mu / 3}$ .