Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
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Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la seconde variation.
Théorème : Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive δ, alors son diamètre est borné par 
:
En particulier, M est compacte.
Démonstrations
. Soit une géodésique ![\gamma:[0,L]\rightarrow M](../../../math/6/2/8/62853359d37138ca6b3d5217e68a1190.png)
d'origine ![Y(t)=\sin\left[\frac{\pi t}{L}\right].Z(t)](../../../math/f/f/9/ff9a6ddb6aac0e56f572e4f2cd9017fa.png)
![Y'(t)=\frac{\pi}{L}\cos\left[\frac{\pi t}{L}\right] Z(t)](../../../math/a/f/1/af11e446dccd9eab98f9977aba5090fb.png)
![[0,L]\rightarrow M](../../../math/f/0/1/f018b91debe0fd701bd20119c4379037.png)
d'origine 
. La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs ![\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=\int_0^L \left[ \frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\left[\frac{\pi t}{L}\right] - k(\gamma'(t),Y(t))\sin^2\left[\frac{\pi t}{L}\right]\right] dt\leq \frac{\pi^2 -\delta L^2}{2L}<0](../../../math/0/4/8/048f1ae066b6f13dead10cd71770fdf9.png)
Le cas d'égalité a été étudié :
- Sous les notations précédentes, si le diamètre de M est égal à
, alors (M,g) est isométrique à la sphère euclidienne de rayon 
.
Le théorème de Meyer a le corollaire bien connu suivant :
- Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure positive est un groupe fini.
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