Théorème de convergence monotone

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Ce théorème est, avec le théorème de convergence dominée, l'un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue.

Ce théorème indique que la convergence simple d'une suite de fonctions mesurables positives est aussi une convergence au sens de la norme $L 1$ si la suite est croissante et positive.

Il permet sous reserve de respecter les hypothèses du théorème, d'inverser 2 symboles mathématiques $\int{}$ et $\lim{}$ . Comme cas particulier, il permet aussi d'inverser les deux symboles $\sum{}$ et $\lim{}$ sous les mêmes hypothèses ou encore les deux symboles $\int{}$ et $\sum{}$ dans le cas de série.

Sommaire

1 Enoncé du théorème
2 Histoire
3 Remarques
4 Démonstration
5 Voir aussi
- 5.1 Liens internes
- 5.2 Lien externes

[modifier] Enoncé du théorème

Soit E un espace mesurable, $(f n)$ une suite croissante de fonctions positives mesurables de E dans R qui converge simplement presque partout, alors la limite f est une fonction mesurable et la suite $(f n)$ converge vers f pour la norme $L 1$ .

Voici un énoncé équivalent: on considère un espace mesurable (X, F, μ). Si $(f n) n$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant μ-p.p. vers une fonction mesurable f, alors lim ∫ $f n$ dμ = ∫ $f$ dμ.

[modifier] Histoire

Au début du XX^e siècle une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article Sur une generalisation de l'integrale definie, publié dans les Comptes Rendus du 29 April 1901. Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

[modifier] Remarques

[modifier] Convergence simple

Une fonction non élémentaire en mathématiques est souvent construite comme limite d'une suite et plus généralement d'une série. Deux exemples d'ensemble de fonctions sont obtenues par une construction de type série entière ou par les méthodes de l'analyse harmonique.

Parfois, cette série converge bien. Par bien converger, on entend la convergence au sens d'une topologie forte ou d'une bonne distance. Par exemple, la distance de la convergence uniforme qui indique qu'une section finissante de la suite se trouve dans une bande de largeur aussi petite que l'on veut.

Malheureusement une convergence forte est rare. Par exemple la suite des polynomes $(x n)$ sur l'intervalle [0, 1] ne converge pas uniformément. Un critère de convergence peu contraignant est la convergence simple, qui indique uniquement qu'en chaque point les fonctions convergent. La régularité de la convergence n'est pas assurée. Si le critère de convergence est peu contraignant, il offre hélas des propriétés peu enrichissantes. C'est la raison pour laquelle on appelle la topologie associée la topologie faible. C'est le cas de notre exemple qui converge vers la fonction égale à 0 sur l'intervalle [0,1[ et vers 1 en 1.

[modifier] Convergence presque partout

Presque partout signifie que la propriété est vraie en chaque point sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle. En effet, le comportement d'une fonction est invariant pour l'intégrale de Lebesgue si la fonction n'est modifiée que sur un ensemble de mesure nulle.

[modifier] Convergence L1

Il existe un critère de convergence fondée sur une distance provenant directement de la mesure. Cette distance d est définie de la manière suivante, si E est un espace mesurable, f et g des fonctions définies sur E presque partout, à valeur dans les réels et mesurables alors :

$d(f,g) = \int_E |f-g| \;$

L'espace vectoriel des fonctions mesurable de E à valeur dans les réels définies presque partout muni de cette distance est noté $L^1(E) \;$ . Le théorème de la convergence monotone indique que la convergence a lieu dans cette espace. Une autre manière d'énoncer ce resultat revient à dire que l'on peut intervertir les signes de limites et d'intégral. Si l'on note $(f_n) \;$ la suite de fonctions de f la limite, exprimer la convergence de la suite dans $L^1(E) \;$ c'est dire que:

$lim \int_E f_n = \int_E lim f_n \ = \int_E f \qquad ou \; encore \qquad lim \int_E |f-f_n|=0\;$

[modifier] Intérêt du théorème

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans $L^1(E) \;$ . Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions un peu subtils comme l'espace des séries entières des fonctions harmoniques ou des espaces de fonctions plus subtiles comme les espaces de Hardy ou de Sobolev.

[modifier] Théorème de convergence dominée

En général, on utilise une forme souvent plus puissante de ce théorème : le théorème de convergence dominée. Si ce théorème est en général plus puissant, il ne s'applique cependant pas si la suite n'est pas majorée par une fonction mesurable, ce qui est donc le cas le plus fréquent d'utilisation de la convergence monotone. Elle est aussi nécessaire pour aboutir à une preuve de la convergence dominée.

[modifier] Non validité dans le cadre de la théorie de Riemann

Ce théorème serait faux avec la construction de l'intégrale de Riemann. Construisons le contre exemple suivant: Soit $(u n)$ une suite de rationnels bijective dans l'intervalle [0,1] de Q. Définissons la suite de fonctions $(f n)$ de [0,1] dans l'ensembles des réels positifs par :

$f_n (x) = 1 \quad si \quad x\in \{ u_0,...,u_n \} \quad ,\quad f_n (x) = 0 \quad sinon$ .

Cette suite converge simplement vers une fonction qui est nulle sur les irrationnels et constante de valeur 1 sur les rationnels. Elle ne converge pas pour l'intégrale de Riemann.

[modifier] Démonstration

Soit $E \;$ un espace mesurable et $(f_n) \;$ une suite croissante de fonctions positives mesurables de $E \;$ dans $\R$ qui converge simplement presque partout. Notons f sa limite. Elle est mesurable car elle est égale à la fonction $\sup_n f_n \;$ qui est mesurable (cf fonction mesurable). Définissons la suite $(u_n) \;$ la suite de réels définie par:

$u_n = \int_E f_n \;$

La suite $(u_n) \;$ est convergente au besoin vers la valeur $+\infty \;$ , vers une limite que nous notons u, car elle est croissante. Par construction, la fonction f majore toutes les fonctions de la suite $(f_n) \;$ , donc:

$u \le \int_E f \;$

Soit $\phi \;$ une fonction étagée majorée par f et a un réel strictement compris entre 0 et 1. On définit alors l'ensemble $E_n \;$ par:

$E_n = \{x \in E \; tel \; que \; f_n(x) \ge a.\phi (x)\} \;$ .

La suite $(E_n) \;$ est une suite d'ensembles emboités dont une section finissante est égale à $E \;$ . On en déduit que si n est suffisamment grand alors:

$u \ge \int_E f_n = \int_{E_n} f_n \ge a\int_{E_n} \phi = a\int_E \phi \;$

commentaire d'un internaute: la condition 'pour n suffisamment grand' est fausse. Un contre exemple: prendre pour f et pour u la fonction continue par morceaux 0 sur [0,1/2] 1 sur ]1/2,1] et pour fn, dans sa décomposition, à cheval sur les points de discontinuité, par exemple 0 sur [1/2-1/n,1/2+1/n]. Sur [1/2,1/2+1/n], pu>fn. Donc on n'a jamais 'à partir d'un certain rang, En=E' Pour une véritable démonstration, voir les bouquins fin commentaire

Cette inégalité est vraie pour tout a positif plus petit que 1 elle est donc aussi vraie si a est égal à 1. Cette inégalité est vraie pour toute fonction étagée majorée par f elle est donc vraie pour f, nous avons donc:

$u \ge \int_E f\;$