Théorème du point fixe de Brouwer

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Le mathématicien Luitzen Egbertus Jan Brouwer remarquait, en mélangeant son café au lait, que le point central de la surface du liquide, au milieu du tourbillon créé par le mouvement rotatoire de la cuillère, restait immobile. Voici comment il examina le problème :

À tout moment, il y a un point de la surface qui n'aura pas changé de place.

Je peux formuler ce magnifique résultat autrement : je prends une feuille horizontale, une autre feuille identique que je froisse et que je replace en l'aplatissant sur l'autre. Un point de la feuille froissée est à la même place que sur l'autre feuille.

[modifier] Énoncé

Toute application continue de la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$ dans elle-même admet un point fixe.

[modifier] Preuve

Notons $B n$ la boule unité fermée de $\mathbb{R}^n$ et $S n - 1$ la sphère unité de $\mathbb{R}^n$ . On présente ici une preuve élégante et originale, on raisonne par l'absurde : on suppose l'existence d'une application $\varphi$ continue de $B n$ dans lui-même sans point fixe. L'idée de cette preuve est de construire à partir de $\varphi$ une fonction permettant de contredire le théorème de la boule chevelue. Ce théorème affirme que si $Q$ est pair, il n'existe pas d'application continue $α$ de $S Q$ dans $S Q$ telle que pour tout $x \in S_Q$ , $(α(x) | x) = 0$ , où $(\cdot|\cdot)$ désigne le produit scalaire euclidien canonique de $\mathbb{R}^Q$ .

Soit $\varphi$ une application continue de $B n$ dans lui-même qui n'admette aucun point fixe.

On exhibe alors les fonctions suivantes :

La fonction $ξ 1$ , continue de $B n$ dans $\mathcal{R}^n \setminus \{0\}$ , définie par $\forall x \in B_n, \xi_1(x) = x - \varphi(x)$ . L'intérêt de cette fonction est que si $x \in S_{n-1}$ alors

$0 < ||x - \varphi(x)||^2 = 1 + ||\varphi(x)||^2 - 2(x|\varphi(x)) \leq 2 - 2(x|\varphi(x)) \leq 2(x|\xi_1(x))$

soit $(x | ξ 1 (x)) > 0$ .

On construit la fonction $ξ 2$ , qui vérifie les mêmes propriétés que $ξ 1$ (elle est continue, ne s'annule pas et $(x | ξ 2 (x)) > 0$ pour un point de la sphère) mais définit cette fois de $B n + 1$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$ de la manière suivante : si $x = (X, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}$ , on lui associe $ξ 2 (x) = (ξ 1 (X), x n + 1)$ . Ceci a bien un sens, car $X \in B_n$ . L'inégalité montrée pour $ξ 1$ montre que $ξ 2$ vérifie toutes les propriétés souhaitées.
On définit la fonction $ξ 3$ par $\forall x \in B_{n+1}, \xi_3(x) = \frac{ (x|\xi_2(x))x + (1 - ||x||^2)\xi_2(x)}{1 - ||x||^2 + (x|\xi_2(x))}$ Le dénominateur ne s'annule pas : en effet $1 - | | x | | 2 + (x | ξ 2 (x)) = 1 - (x | ξ 2 (x))$ et cette quantité est strictement positive. La fonction $ξ 2$ est par ailleurs continue. Montrons qu'elle ne s'annule pas. Si le numérateur s'annule, alors, en faisant le produit scalaire par $x$ , on trouve $(x | ξ 2 (x)) = 0$ et donc, nécessairement $(1 - | | x | | 2)ξ 2 (x) = 0$ . La fonction $ξ 2$ ne s'annulant pas, on a donc $| | x | | = 1$ , mais dans ce cas $(x | ξ 2) > 0$ .
On construit $\xi_3^{\prime}$ l'analogue de $ξ 3$ pour $B n$ en remplaçant dans le point précédent tous les $ξ 2$ par $ξ 1$ .
Pour $x = (X, x_{n+2}) \in S_{n+1} \times \mathbb{R}$ , on construit la fonction $ξ 4$ de $S n + 1$ dans $\mathbb{R}^{n+2}$ par : $ξ 4 (x) = ( - x n + 2 ξ 3 (X),(ξ 3 (X) | X))$ Ceci a bien un sens car $X \in B_{n+1}$ . De plus $ξ 4$ est continue sur $S n + 1$ et elle vérifie $(x | ξ 4 (x)) = 0$ . Cette fonction ne s'annule pas, en effet supposons que $x n + 2 ξ 3 (X) = 0$ et $(ξ 3 (X) | X) = 0$ . Si $x_{n+2} \neq 0$ alors $ξ 3 (X) = 0$ ce qui est exclu, et si $x n + 1 = 0$ , alors $\xi_3(X) \in S_n$ et $(ξ 3 (X) | X) = | | X | | 2 = 1 = 0$ , ce qui est également exclu.
On construit de même la fonction $\xi_4^{\prime}$ analogue à $ξ 4$ mais cette fois définie dans $S n$ par :

$\forall x = (X, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1}, \xi_4^{\prime}(x) = (-x_{n+1} \xi_3^{\prime}(X), (\xi_3^{\prime}(X)|X))$

Enfin, on construit les fonctions $\alpha= \frac{\xi_4}{||\xi_4||}$ et $\alpha^{\prime}=\frac{\xi_4^{\prime}}{||\xi_4^{\prime}||}$ . Comme un des deux nombres $n$ et $n + 1$ est pair, l'une de ces deux fonctions contredit le théorème de la boule chevelue, contradiction. CQFD