William Rowan Hamilton
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Sir William Rowan Hamilton (4 août 1805-2 septembre 1865) est un mathématicien, physicien et astronome irlandais. Il est connu pour sa découverte des quaternions mais il contribue aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre. Ses recherches se révélent importantes pour le développement de la mécanique quantique.
Les travaux mathématiques d'Hamilton incluent l'étude de l'optique géométrique, l'adaptation des méthodes dynamiques aux systèmes optiques, l'application des quaternions et des vecteurs aux problèmes de mécanique et géométriques, la solvabilité des équations polynômiales, notamment l'équation générale du cinquième degré, les opérateurs linéaires dont il prouve un résultat concernant ces opérateurs dans l'espace des quaternions et qui est un cas spécial du théorème appelé actuellement théorème de Cayley-Hamilton.
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[modifier] Biographie
[modifier] Jeunesse
Hamilton est né à Dublin, son père est Archibald Hamilton. Une des branches de la famille écossaise auquel il appartient s'était installé dans le nord de l'Irlande au temps de Jacques Ier d'Écosse, ce qui a parfois donné l'impression qu'Hamilton était écossais. Hamilton est éduqué par James Hamilton, un prêtre anglican qui était son oncle.
Hamilton est un enfant prodige ; son génie se montra tout d'abord par sa capacité à apprendre les langues. À l'âge de 7 ans, il a déjà fait des progrès considérable en hébreu et à l'âge de 13 ans, sous la direction de son oncle qui est linguiste, il a déjà acquis autant de langues qu'il a d'années.
Ces langues étaient, outre les langues européennes classiques et modernes, le persan, l'arabe, l'hindousthânî, le sanskrit et le malais. Bien que jusqu'à la fin de sa vie il retient beaucoup de son apprentissage singulier du persan et de l'arabe, qu'il lit dans le texte entre deux tâches plus ardues, il a depuis longtemps abandonné leur étude, et les emploie simplement pour se relaxer.
Hamilton fait partie d'une petite mais brillante école de mathématiciens associée au Trinity College de Dublin, où il passe toute sa vie. Il étudie les classiques et les sciences et est nommé professeur d'astronomie en 1827, avant même d'être diplômé.
[modifier] Études mathématiques
Il semble que Hamilton étudie les mathématiques sans aucune sorte d'assistance et ses recherches ne font donc partie d'aucune école, à moins qu'on ne considère qu'elles ne forment à elles seules une école.
À l'âge de douze ans Hamilton rencontre Zerah Colburn le jeune prodige américain et ils testent mutuellement leurs habileté arithmétique lors de compétitions. Il semble que cela pousse Hamilton à accroître ses connaissances en mathématiques.
Deux ans auparavant, il était tombé accidentellement sur un copié des Éléments d'Euclide qu'il dévora avidement. Il entrepris alors l'étude de l'Arithmetica universalis de Newton qui est son introduction à l'analyse mathématique moderne.
Rapidement, il entreprend la lecture des Principia et à seize ans il en maîtrise une grande partie ainsi que quelques œuvres plus modernes sur la géométrie analytique et le calcul différentiel.
Durant cette période, Hamilton est engagé en vue de son entrée au Trinity College de Dublin et doit donc vouer une partie de son temps aux classiques. Lors de l'été 1822, alors âgé de dix-sept ans, il commençe une étude systématique de la Mécanique Céleste de Laplace. Rien ne peut convenir pour faire appel aux capacités mathématiques comme celles d'Hamilton ; en effet cette grande œuvre de Laplace est riche en procédés analytiques mais aussi nouveaux et demande donc une étude soignée et souvent laborieuse.
C'est dans ce fructueux effort pour ouvrir cette boîte aux trésors que l'esprit d'Hamilton reçoit sa trempe finale.
À partir de cette époque, Hamilton semble se consacrer presque complètement à la recherche en mathématiques, bien qu'il se tienne bien au courant des progrès de la science, en Grande Bretagne et à l'étranger. Lorsqu'il détecte une erreur importante dans une des démonstrations de Laplace, un ami le pousse à écrire ses remarques, qui pourraient être montrées à John Brinkley alors le premier Astronomer Royal pour l'Irlande et mathématicien accompli. Brinkley semble percevoir immédiatement les talents du jeune Hamilton et l'encourage de la façon la plus aimable.
La carrière de Hamilton à l'université est exceptionnelle. Parmi un certain nombre de concurrents au mérite plus qu'ordinaire, il est premier dans chaque sujet et à chaque examen. Par exemple, il réalise la rare prouesse d'obtenir la note maximale à la fois en grec et en physique.
Il était attendu à ce que Hamilton gagne les deux médailles d'or à l'examen final mais sa carrière d'étudiant fut raccourcie par un événement sans précédent, sa nomination comme Astronomer Royal d'Irlande, poste devenu vacant à la suite de la nomination de Brinkley comme évêque, ainsi que sa nomination peu de temps après au poste de professeur d'astronomie de Trinity College .
Le poste ne lui a pas été exactement offert, comme cela a parfois été affirmé, mais les électeurs, s'étaient réunis, avaient abordé le sujet, et avaient autorisé l'un d'entre eux, qui était l'ami personnel de Hamilton, de l'inviter à se porter candidat, une étape que la modestie de Hamilton l'avait empêché de prendre.
À vingt-deux ans et encore sans diplôme, Hamilton s'établit à l'observatoire Dunsink, près de Dublin. Hamilton, n'est pas spécialement bien adapté pour le poste, car bien qu'ayant une connaissance approfondie de l'astronomie théorique il n'a porté que peu d'attention au travail normal d'un astronome.
Comme son temps est mieux utilisé pour des recherches originales qu'à effectuer des observations, même avec le meilleur des instruments, les autorités de l'université qui l'avait choisi veulent qu'il consacre son temps au mieux pour l'avancement de la science, sans être attaché à quelle branche que ce soit. Si Hamilton auvait voulu se vouer à l'astronomie pratique, nul doute que l'université de Dublin lui aurait fourni des instruments et une équipe d'assistants adéquate.
En 1835, alors secrétaire à la réunion de la British Association qui se tient cette année à Dublin, il est anobli par le Lord Lieutenant. Cette même année, il est lauréat de la Royal Medal. Mais des honneurs bien plus important se succèdent rapidement, parmi lesquels son élection en 1837 à la place de président de la Royal Irish Academy, et la rare distinction d'être membre correspondant de l'académie de Saint-Petersbourg.
[modifier] Travaux
[modifier] Optique et dynamique
William Hamilton fait d'importantes contributions en physique mathématique, surtout en optique et en dynamique.
Sa première découverte se trouvent dans un des premiers papiers qu'il communique au Dr Brinkley en 1823 et qui sous le titre de Caustics (caustique) est présenté en 1824 à la Royal Irish Academy. L'article est, comme d'habitude, soumis à un comité de lecture. Leur rapport, bien que reconnaissant la nouveauté et la valeur de son contenu, recommande qu'avant publication, l'article doit d'abord être développé et simplifié.
Entre 1825 et 1828, l'article prend une ampleur considérable, principalement par l'ajout de détails demandés par le comité; mais il est aussi rendu beaucoup plus compréhensible et les particularités de la nouvelle méthode deviennent parfaitement apparentes.
En 1827, il présente une théorie dans laquelle une unique fonction unit mécanique, optique et mathématiques et qui aide à établir la théorie ondulatoire de la lumière. L'article est finalement nommé Theory of Systems of Rays (23 avril 1827, Théorie des systèmes de rayons) et la première partie est publiée en 1828 dans les Transactions of the Royal Irish Academy.
Le principe variationnel, aussi appelé principe d'Hamilton, est l'élément essentiel de ces articles. Ce principe, qui reformulé par Jacobi, aboutit à une formulation alternative de la mécanique classique ; elle est actuellement connue sous le nom de mécanique hamiltonienne.
Cette formulation, comme la mécanique lagrangienne sur laquelle elle est fondée, est très mathématique et n'apporte rien de nouvelle physique mais fournit une méthode plus puissante pour résoudre les équations du mouvement. Les mécaniques lagrangienne et hamiltonienne ont été développées pour décrire le mouvement de systèmes discrets ; elles furent étendus aux systèmes continus en utilisant des champs. Sous cette forme, elles sont utilisées en électromagnétisme et en mécanique quantique ou relativité.
[modifier] Quaternions
L'autre grande contribution de Hamilton, en mathématique pure cette fois, est l'invention des quaternions. Il les découvre en 1843 alors qu'il cherche une façon d'étendre les nombres complexes à des dimensions supérieurs à 2.
Il ne trouve rien en dimension 3, mais la dimension 4 le conduit aux quaternions. Selon l'histoire racontée par Hamilton lui-même, le 16 octobre, alors qu'il se promenent avec son épouse le long du Royal Canal à Dublin, la solution lui vint soudainement à l'esprit: i² = j² = k² = ijk = -1 ; il s'empresse alors de graver cette équation sur le Brougham Bridge (actuellement Broom Bridge).
Depuis 1989, la National University of Ireland de Maynooth organise un pèlerinage où des mathématiciens (notamment Murray Gell-Mann en 2002 et Andrew Wiles en 2003) parcourent le chemin depuis l'observatoire de Dunsink jusqu'au pont, où malheureusement on ne peut voir aucune trace de cette inscription.
L'introduction des quaternions a une conséquence, considérée comme radicale à l'époque : l'abandon de la commutativité. Avec les quaternions, Hamilton invente aussi le mot vecteur : en effet, il décrit les quaternions comme une suite ordonnée de 4 nombres réels et appelle le premier la partie scalaire et les trois autres la partie vecteur.
Ses résultats sur les quaternions sont exposés dans Lectures on Quaternions (Dublin, 1852) mais Hamilton essaya aussi de populariser ceux-ci dans plusieurs livres, dont le dernier, Elements of Quaternions, fait 800 pages et est publié peu après sa mort.
L'utilisation des quaternions est l'objet de controverses.
Hamilton pensait que les quaternions auraient une grande influence comme instrument de recherche et Peter Guthrie Tait, parmi d'autres, plaide pour leur utilisation. Certains des partisans d'Hamilton s'opposent à l'algèbre vectorielle, développée notamment par Oliver Heaviside et Willard Gibbs, car les quaternions, selon eux, offrent une meilleure notation. Même si cela est discutable pour la dimension 4, les quaternions ne peuvent être utilisés dans un nombre quelconque de dimensions (bien que des extensions, comme les octonions ou les algèbres de Clifford existent).
Aussi, bien que les quaternions permettent certaines démonstrations élégantes et concises, les quaternions sont rarement utilisés par les mathématiciens du XXIe siècle ; la notation vectorielle ayant remplacé les quaternions en sciences et en ingénierie durant la moitié du XXe siècle. Notons tout de même l'usage intensif des quaternions unitaires dans des branches comme la synthèse d'image et l'animation, le traitement du signal et la mécanique orbitale, principalement pour manipuler des rotations ou des orientations.
[modifier] Divers
Hamilton avait l'habitude de laisser mûrir ses idées avant de les coucher sur papier. Les découvertes, articles et livres mentionnés précédemment auraient déjà suffi à remplir une longue et laborieuse vie. Mais même sans mentionner son énorme collection de livres se trouvant maintenant au Trinity College de Dublin, ces travaux ne constituent qu'une partie de ceux qu'il a publiés.
Hamilton étudia longuement ce qui se concerne aux solutions algébriques des équations du cinquième degré. Le résultat de ces recherches, utilisés entre autres par Niels Abel et George Jerrard, sont une autre de ses contributions à la science. Il étudia aussi en profondeur les solutions (notamment par approximation numérique) de certaines classes d'équations différentielles dont seulement quelques parties furent publiées, par intervalle, dans le Philosophical Magazine. On lui doit aussi l'invention très ingénieuse de l'hodographe.
Hamilton entretenait aussi une correspondance très volumineuse. Souvent, une seule de ses lettres occupait cinquante ou cent pages à l'écriture serrée, toutes consacrées à des considérations minutieuses de chaque détails d'un problème particulier. C'était, en effet, une de ses caractéristiques : son esprit ne pouvait se satisfaire de la compréhension générale d'une question ; il ne lâchait pas un problème tant qu'il ne le connaissait pas dans ses moindres détails. Hamilton était aussi très courtois pour répondre à des demandes d'aide concernant l'étude de ces travaux, et cela même quand ça lui coûtait une grande partie de son temps. Il était aussi extrêmement précis et difficile à satisfaire pour ce qui concernait la finition de ses travaux pour publication et c'est probablement pour ça qu'il ne publia que si peu en comparaison de l'étendue de ses recherches.
Hamilton garda ses facultés intactes jusqu'à la fin de sa vie et continua assidûment, jusqu'à un ou deux jours avant sa mort, à achever ses Elements of Quaternions qui avaient occupés les six dernières années de sa vie.
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