אריתמטיקה של גבולות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות הם חוקים בסיסיים שאותם מקיימים גבולות סופיים או אינסופיים של פונקציות (ממשיות או מרוכבות).

תוכן עניינים

1 אריתמטיקה של גבולות סופיים
2 אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
3 גבול של הרכבת פונקציות
4 הוכחות

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה $f\,$ ו- $g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_0$ שעבורן קיימים הגבולות הסופיים $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ ו- $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)$ .

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

[עריכה] כלל הסכום

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\lim_{x\rightarrow x_0} (f + g)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) + \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)$

[עריכה] כלל המכפלה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)$

אם נבחר בפונקציה $\ g(x)=\alpha$ , קבוע, יתקבל המקרה הפרטי $\lim_{x\rightarrow x_0} \alpha \cdot f(x)=\alpha \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ . בפרט $\lim_{x\rightarrow x_0} (-f(x))=- \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ ומכאן נובע "כלל ההפרש", הנובע בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבולו של הפרש פונקציות.

[עריכה] כלל המנה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0$ ,כלומר:

$\lim_{x\rightarrow x_0} \left({\frac{f}{g}}\right)(x) =\frac{\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)}$

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר $\,x \rightarrow \pm \infty$ .

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה $f\,$ ו- $g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_0$ שעבורן מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty$ .
$\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L$ , כאשר $L\in\mathbb{R}$ (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

$\lim_{x\rightarrow x_0} (f+g)(x)=+\infty$ .
$\lim_{x\rightarrow x_0} (g-f)(x)=-\infty$ .
$\lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{g}{f})(x)=0$ .

כאשר $\,L>0$ מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= + \infty$ .

וכאשר $\,L<0$ מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= - \infty$ .

כאשר $\,L=0$ לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול $\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)$ מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של " $0 \cdot \infty$ " ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר $\,x \rightarrow \pm \infty$ .

תהי $f\,$ פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_0$ שעבורה מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$ .
קיימת סביבה נקובה של $\,x_0$ בה מתקיים $f(x)>0\,$ .

בתנאים אלו מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{1}{f})(x)=+\infty$ .

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של $\,x_0$ בה מתקיים $f(x)<0\,$ ובמקרה הזה הגבול הוא $-\infty$ .

תהיינה $f\,$ ו- $g\,$ פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של $\,x_0$ שעבורן מתקיים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty$ .
$\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=+\infty$ .

בתנאים אלו מתקיים :

$\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)=+\infty$ .

גם כלל זה תקף כאשר $\,x \rightarrow \pm \infty$ .

[עריכה] גבול של הרכבת פונקציות

תהיינה $f\,$ ו- $g\,$ פונקציות שעבורן מתקיימים התנאים הבאים:

$\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=z_0$ , כאשר $z_0\in\mathbb{R}$ .
$f\,$ רציפה ב- $z_0\,$ .

בתנאים אלו מתקיים $\lim_{x\rightarrow x_0} (f\circ g)(x)=f\left(\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)\right)=f(z_0)$ .

[עריכה] הוכחות

[עריכה] הוכחת כלל הסכום

נסמן ב- $\,A$ וב- $\,B$ את הגבולות של $\,f$ ושל $\,g$ בהתאמה. יהי $\varepsilon > 0$ . יש להוכיח כי קיים $\ \delta > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_0|<\delta\,$ מתקיים $|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|<\varepsilon\,$ .

מהנתונים על הגבולות של $f\,$ ו- $g\,$ נסיק כי:

קיים $\delta_1 > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_0|<\delta_1\,$ מתקיים $|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}\,$ (1).
קיים $\delta_2 > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $|x-x_0|<\delta_2\,$ מתקיים $|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2}\,$ (2).

נבחר את $\delta\,$ להיות $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,$ . לפי אי-שוויון המשולש, $|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|=|f(x) \pm g(x)-A \mp B|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|$ . מכאן ש- $|(f(x) \pm g(x))-(A \pm B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ .

[עריכה] הוכחת כלל המכפלה

יהי $\varepsilon > 0$ . יש להוכיח כי קיים $\delta > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta\,$ מתקיים $|(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon\,$ . נגדיר $\,\varepsilon_1=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+|A|+|B|}\right\}$ .

מהנתונים על הגבולות של $f\,$ ו- $g\,$ נסיק כי:

קיים $\delta_1 > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta_1\,$ מתקיים $|f(x)-A|<\varepsilon_1$
קיים $\delta_2 > 0\,$ כך שלכל $x\,$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta_2\,$ מתקיים $|g(x)-B|<\varepsilon_1$

נבחר את $\delta\,$ להיות $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,$ . יהי $x\,$ המקיים $0<|x-x_0|<\delta\,$ . נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי $\,|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)|$ $\,\le|f(x)-A|\cdot|g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot|B|+|A|\cdot|g(x)-B|$ $\,<\varepsilon_1\cdot\varepsilon_1+ \varepsilon_1\cdot|B|+|A|\cdot\varepsilon_1 \le \varepsilon_1+ \varepsilon_1\cdot|B|+|A|\cdot\varepsilon_1$ $\,=\varepsilon_1 (1+|A|+|B|)=\varepsilon$ כלומר, הראינו שאם $x\,$ מקיים $0<|x-x_0|< \delta \,$ אזי , $|f(x)g(x)-AB|<\varepsilon$ ומכאן נובע כלל המכפלה.

[עריכה] הוכחת כלל ההרכבה

יהי $\varepsilon >0\,$ . נתון ש- $f\,$ רציפה בנקודה $z_0\,$ , קיים $\delta_1 >0\,$ כך שלכל $z\,$ המקיים $|z-z_0|<\delta_1\,$ מתקיים $|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$ (1).