פונקציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בפונקציה במתמטיקה. לערך העוסק בפונקציה בתכנות, ראו פונקציה (תכנות).

במתמטיקה, פונקציה היא התאמה בין איברי שתי קבוצות, או ליתר דיוק תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות, בה לכל מקור בתחום ההתאמה ישנה רק תמונה אחת בטווח המותאמת לו. פונקציה נקראת גם "התאמה", "העתקה", "טרנספורמציה" ו"מיפוי".

דוגמאות:

התאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה.
התאמה המתאימה לכל מספר טבעי את ריבועו היא פונקציה.
התאמה המתאימה לכל אדם את אזרחותו איננה פונקציה מאחר ויש אנשים בעלי מספר אזרחויות.

פונקציה מתמטית על מספרים ניתנת לתיאור על ידי שני משתנים:

משתנה בלתי-תלוי (המבטא את מקור הפונקציה), הנכתב לרוב כ- $x \$ .
משתנה תלוי (המבטא את תמונתה) הנכתב לרוב כ- $f(x) \$ .

תאור הפונקצייה נעשה באמצעות תאור הקשר בין כל מקור לתמונתו, על ידי משוואה מתמטית.
לדוגמה, פונקציה המתאימה לכל x את מכפלתו ב- 5 תכתב כך:

$f(x) = 5x \$

פונקציות ניתנות לחלוקה לחלקים שונים, התחומים בין ערכים שונים של המשתנה הבלתי-תלוי. תחומים אלו מתוארים על ידי ציון גבולותיהם.
לדוגמה, תחום הפונקציה שבין x=3 לבין x=7, הכולל את הערכים הנ"ל נכתב כך:

$3 \le x \le 7$

[עריכה] הגדרה מתמטית פורמלית

פונקציה מתמטית מוגדרת בתור השלשה הבאה:

קבוצה $\!\, A$ הנקראת "התחום".
קבוצה $\!\, B$ הנקראת "הטווח".
יחס $\!\, R\subseteq A\times B$ כך שלכל איבר בתחום מותאם איבר אחד ויחיד מהטווח. כלומר: אם $\ (a,b_1) \ , \ (a,b_2) \in R$ אזי $\ b_1 = b_2$ .

נהוג לסמן פונקציות כך: $\!\, f:A\rarr B$ , כלומר אות שמציינת את הפונקציה, אחריה נקודותיים, התחום והטווח.

בשנים האחרונות, החלו לוגיקנים להנהיג "סימון למדא" לפונקציות:

$\ f = \lambda x \in A \ . \ f(x) \in B$

זהו סימון מלא וריגורוזי, שנועד להחליף את אוסף הסימונים המבולבל לפונקציות שנהוגים כיום במתמטיקה. הסימון גם כולל כללים לוגים ותחביריים לטיפול ב"סימוני למדא" ובכך מאפשר טיפול ריגורוזי ומדויק לוגית בפונקציות. נכון לעכשיו, השימוש בסימון למדא עדיין מוגבל לתחום הלוגיקה הפורמלית.

[עריכה] תכונות של פונקציות

פונקציה המוגדרת מקבוצה לעצמה ומקיימת $\!\, f(x)=x$ לכל $\!\, x$ בקבוצה נקראת פונקציית הזהות.
פונקציה $\!\, f$ תיקרא חד-חד ערכית (חח"ע, בקיצור) אם מתקיים: $\!\, f(a)=f(b)\rArr a=b$ כלומר, אם לכל איבר בטווח מותאם לכל היותר איבר יחיד מהתחום.
פונקציה $\!\, f:A\rarr B$ תיקרא על אם לכל $\!\, y\isin B$ קיים $\!\, x\isin A$ כך ש: $\!\, f(x)=y$ .
פונקציה שהיא חד חד ערכית ועל נקראת הפיכה. הפונקציה ההופכית ל- $\!\, f$ היא פונקציה המסומנת $\!\, f^{-1}$ ומקיימת $\!\, f^{-1}(f(x))=x$ . כלומר הפעלת הפונקציה ההופכית על תוצאתה הפונקציה המקורית, הפועלת על איבר כלשהו, "הופכת" את הפעולה ונותנת את איבר המקורי "בחזרה". בניסוח פורמלי: ההרכבה של שתי הפונקציות היא פונקציית הזהות.

חח"ע אך לא על	על אך לא חח"ע
חח"ע ועל (הפיכה)	לא חח"ע ולא על

[עריכה] דוגמאות לפונקציות

בדוגמאות רבות, התחום והטווח של הפונקציות הם קבוצת המספרים הממשיים או מרחבים וקטורים מעל שדה הממשיים. אך זהו תחום צר מאוד של פונקציות. כמו שצויין, פונקציה ניתנת להגדרה על כל מרחב מופשט שהוא ואפילו העתקה שמתאימה לכל אדם את צבע עיניו היא פונקציה.

[עריכה] פונקציות ממשיות

ערך מורחב – אנליזה מתמטית

פונקציה ממשית היא פונקציה שהתחום והטווח שלה חלקיים (או שווים) לקבוצת המספרים הממשיים, כלומר:

$\!\, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

פונקציות ממשיות הן הנפוצות ביותר במחקר המדעי והן נושא המחקר העיקרי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי והאנליזה המתמטית. לגביהן מקובל להגדיר מושגים של רציפות, נגזרת וכדומה.

אם הפונקציה f זוגית סביב הנקודה $\ x = x_0$ אז היא מקיימת

$\ f(x_0-x)=f(x_0+x)$

$\int_{x_0-p}^{x_0+p} f(x) dx = 2 \int_{x_0}^{x_0+p} f(x) dx, \quad \forall p>0$

אם הפונקציה f אי-זוגית סביב הנקודה $\ x = x_0$ אז היא מקיימת

$\ f(x_0-x)=-f(x_0+x)$

$\int_{x_0-p}^{x_0+p} f(x) dx = 0, \quad \forall p>0$

- מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית נותנת פונקציה זוגית.
- מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית נותנת פונקציה זוגית.
- מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית נותנת פונקציה אי-זוגית.

[עריכה] פונקציות ממשיות אלמנטריות

פולינום: פונקציה מהצורה: $\!\, a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ .
פונקציה לינארית
פונקציה מעריכית: מספר קבוע (הבסיס) בחזקת מספר משתנה, מסומנת $\!\, a^x$ .
לוגריתם: ההופכי של הפונקציה המעריכית: מסומן $\!\, \log_{a}x$ .
פונקציות טריגונומטריות: פונקציות הנותנות את היחס בין הצלעות במשולש ישר זווית, בהתאם לזווית (הרחבה של הפונקציות אל מעבר לזויות החדות מפורטת תחת ערכי הפונקציות השונות):
- סינוס: היחס בין הצלע מול הזווית הנתונה ליתר. מסומן $\!\, \sin x$ .
- קוסינוס: היחס בין הצלע שליד הזווית הנתונה ליתר. מסומן $\!\, \cos x$ .
- טנגנס: היחס בין הצלע מול הזווית הנתונה לצלע ליד הזווית הנתונה. מסומן $\!\, \tan x$ .
סכום, הכפלה או הרכבה של פונקציות אלמנטריות.

[עריכה] פונקציות מרוכבות

ערך מורחב – אנליזה מרוכבת

פונקציות מרוכבות הן פונקציות שמוגדרות מעל שדה המספרים המרוכבים. גם לגביהן אפשר להגדיר גבול, רציפות וגזירות וליצור אנליזה. מחלקה חשובה של הפונקציות המרוכבות היא מחלקת הפונקציות ההולומורפיות.

[עריכה] פונקציות בכמה משתנים

פונקציות רבות יכולות להיות תלויות ביותר ממשתנה אחד.

למשל: הכוח הדרוש כדי לתת תאוצה לגוף תלוי גם במסת הגוף וגם בתאוצה הרצויה. במקרה שכזה התחום שלנו הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים של מסה ותאוצה האפשריים, כאשר לכל זוג שכזה מותאם גודל הכוח הדרוש.

דוגמה נוספת: נסתכל על הפונקציה $\ \log_a x$ , אפשר לחשוב עליה כפונקציה של שני משתנים $\ g : \mathbb{N} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ המחזירה לכל מספר טבעי a ומספר ממשי x את המספר הממשי הבא $\ g(a,x) = \log_a x$ .

בצורה כללית יותר, ניתן להגדיר פונקציה $f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=\left(y_1,y_2,...,y_m\right)$ . פונקציה זו מתאימה לכל וקטור של משתנים $\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$ וקטור של תוצאות $\left(y_1,y_2,...,y_m\right)$ . כל עוד לכל וקטור משתנים מותאם וקטור תוצאות אחד ויחיד, ההתאמה היא עדיין פונקציה (למרות שלכאורה, מתאימים לכל וקטור משתנים יותר מערך אחד).

פונקציה המתאימה לוקטור סקלר נקראת "פוטנציאל" ואילו המתאימה לוקטור וקטור אחר נקראת "שדה". הטרמינולוגיה שאובה מהפיזיקה ובייחוד מתחום האלקטרומגנטיות.

ראו גם: אנליזה וקטורית.

[עריכה] פונקציונלים

ערך מורחב – פונקציונל

פונקציונל היא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב) בתמונה.

לדוגמה: $\!\, I [f] = \int_0^1{ f(x) \ dx }$ (מקבלת פונקציה ומחזירה את האינטגרל המסוים שלה בקטע [0,1] ) היא פונקציונל לינארי.

בדרך כלל כאשר משתמשים במונח פונקציונל מתכוונים לפונקציונל לינארי.

[עריכה] אופרטורים

אופרטור הפועל על פונקציה הוא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה פונקציה אחרת (לאו דווקא שונה מהמקור) כתמונה.

לדוגמה: אופרטור המקבל פונקציה ומחזיר את הנגזרת שלה, נקרא אופרטור הגזירה.

[עריכה] מידה

ערך מורחב – פונקציית מידה

מידה היא פונקציה המקבלת תת-קבוצה (לרוב של הישר הממשי, אך לא בהכרח) ומחזירה מספר ממשי לא-שלילי בתמונה. מידה מקיימת עוד כמה תכונות מיוחדות, ביניהן סיגמא-אדיטיביות.

[עריכה] אלגברה בולאנית

ערך מורחב – פעולה בוליאנית

הפונקציה הפעולה היונארית NOT, למשל, מקבלת ערך בודד (אמת או שקר) ומחזירה את ההופכי שלו. בנוסף לה קיימות פעולות בינאריות הפועלות על שני משתנים.

[עריכה] דטרמיננטה

ערך מורחב – דטרמיננטה

פונקציה שמקבלת מטריצה ריבועית ומחזירה מספר שהוא תכונה שלה.

[עריכה] פונקציות סתומות

ערך מורחב – פונקציה סתומה

פונקציה סתומה היא ביטוי אלגברי שלא כתוב מפורשות באמצעות אחד מן המשתנים המופיעים בביטוי. למשל, כאשר $\ y=f(x)$ , ונתון כי $\ y^2+6x+x^2=9$ . במקרים מסוימים ניתן להגיע מהביטוי הסתום להצגה מפורשת (בדוגמה זו, $\ y=x-3$ או $\ y=-(x-3)$ ).