הוכחה בדרך השלילה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הוכחה בדרך השלילה, הידועה גם בשמה הלטיני Reductio ad absurdum (רֶדוּקְצְיוֹ אַד אַבְּסוּרְדּוּם), היא טכניקת הוכחה, במתמטיקה, לוגיקה ופילוסופיה, שבה, כדי להוכיח שטענה מסוימת היא נכונה, מניחים שהיא אינה נכונה, ובצעדי הוכחה מקובלים מגיעים מהנחה זו לתוצאה אבסורדית, כלומר תוצאה הנמצאת בסתירה עם טענה שכבר הוכחנו בעבר או עם אחת האקסיומות. תוצאה אבסורדית זו מוכיחה שנקודת המוצא שלנו הייתה שגויה, כלומר ההנחה שלנו שהטענה שלנו אינה נכונה היא הנחה שגויה.

יש לשים לב כי שיטה זו משתמשת בכלל השלישי מן הנמנע בלוגיקה - או שמשהו הוא נכון, או שהוא אינו נכון, ועל כן אם הנחנו שהטענה אינה נכונה והגענו לסתירה, נובע מכך שהיא בהכרח נכונה. ישנם זרמים במתמטיקה, דוגמת האינטואיציוניזם, שאינם מקבלים כלל זה, ועל כן אינם רואים הוכחה בדרך השלילה כמוכיחה שמשהו הוא נכון - אלא רק כפוסלת את אי נכונותו.

[עריכה] מתמטיקה

הוכחה בדרך השלילה נפוצה למדי במתמטיקה. דוגמה להוכחה כזו היא הוכחתו של אוקלידס בדבר קיום מספר אינסופי של מספרים ראשוניים.

[עריכה] פילוסופיה

הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה להיות לשם בירור האמת, שכן ניתן להצביע בה על כשלים רעיוניים בדברי הדובר השני, כפי שיראו שתי הדוגמאות הבאות:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן לכל הדעות אותה תקפות ולא ניתן להכחישן.

בני: מה עם דעותיו של דוד? (כאשר דוד מחזיק בדעה שיש קונצנזוס על אי נכונותה בדיון).

אבי: אני מסכים שניתן להכחיש את דעתו של דוד.

בני: אם ניתן להכחיש את דעותיו של דוד, זה לא נכון שלא ניתן להכחיש אף דעה. על כן, אני יכול להכחיש את דעותיו של גדי עם נימוקים מספיקים.

דוגמה יותר חזקה, שלא נזקקת לדבריו של דוד, היא זו:

אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן לכל הדעות אותה תקפוּת ולא ניתן להכחישן.

בני:

1. אני מכחיש דעתך וטוען שהיא שגויה.
2. לפי הטיעון שלך, לדעה זו (1) אותה תקפות כמו כל שאר הדעות.
3. מצד שני, הדעה שלך גם נוגדת וסותרת את (1), שכן היא ההפך הגמור ממנה.
4. מסקנות (2) ו(3) סותרות זו את זו, ולכן ההנחה הבסיסית שלך שגויה ופסולה.