המשפט הטיפשי של האריתמטיקה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המשפט הטיפשי של האריתמטיקה קובע שכמעט כל המספרים הטבעיים הם גדולים מאוד מאוד מאוד. קביעה זו, אמנם, אינה מוגדרת היטב, אבל היא משמשת להבהרת כמה רעיונות מתמטיים בסיסיים.
שמו של החוק כולל התייחסות משועשעת למשפט היסודי של האריתמטיקה.
תוכן עניינים |
[עריכה] הוכחה
במתמטיקה, משמעותה של הטענה "כמעט כל המספרים הם בעלי תכונה מסוימת", היא שכל המספרים הם בעלי תכונה זו, פרט למספר סופי של יוצאי דופן. כאשר מדובר במספרים טבעיים, אם יש רק מספר סופי של יוצאי דופן, אז אחד מהם (נאמר - k) הוא הגדול ביותר, ולכן כל מספר שגדול מ- k מקיים את התכונה. גם להיפך: אם כל מספר שגדול מאיזשהו k מקיים את התכונה, אז יש לכל היותר k יוצאי דופן (המספרים הקטנים מ-k).
המושג "להיות גדול מאוד מאוד מאוד" אמנם אינו מושג מתמטי מדויק, אבל אפשר לצפות שיהיו לו לפחות שתי תכונות:
- יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאוד מאוד מאוד.
- אם מספר מסוים הוא גדול מאוד מאוד מאוד, אז כל מספר גדול ממנו הוא בוודאי גדול מאוד מאוד מאוד.
כעת נוכל להוכיח בקלות את המשפט: יהי n מספר גדול מאוד מאוד מאוד (קיומו של מספר כזה מובטח מהתכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ- n הם גדולים מאוד מאוד מאוד (התכונה השנייה), ולכן יש לכל היותר 1-n מספרים שאינם כאלה. אם כך, כמעט כל מספר הוא גדול מאוד מאוד מאוד, כפי שרצינו להוכיח.
יש לשים לב שבקבוצת המספרים השלמים מספרם של המספרים הקטנים מ- k מסוים אינו סופי, ולכן המשפט אינו נכון עבור מערכת מספרים זו; כך גם לגבי המספרים הרציונליים, והמספרים הממשיים.
[עריכה] כמעט כל וצפיפות
יש דרך אחרת להביע את מיעוט יוצאי הדופן של תכונה, במונחים של צפיפות. במקום לדרוש שיהיו לתכונה רק מספר סופי של יוצאי דופן, אפשר לדרוש שהסיכוי להיות יוצא דופן ילך ויקטן לאפס. בניסוח מדויק יותר, היחס בין מספרם של המספרים מ-1 עד N שיש להם התכונה המבוקשת, לבין מספרם של כל המספרים בתחום זה (שהוא כמובן N), גדל ומתקרב ל- 1 כאשר N גדל.
אם כמעט כל המספרים מקיימים תכונה מסוימת, אז הצפיפות שלה היא 1; אבל ההיפך אינו נכון: למשל, הצפיפות של התכונה "להיות בעל שורש שאינו שלם" היא 1, אבל יש לה אינסוף יוצאי דופן.
[עריכה] ראו גם
[עריכה] קישורים חיצוניים
- עמוד העוסק במשפט באתר Wolfram:Mathworld.
