חבורה פתירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא הפירוק של חבורה לגורמי הרכב, באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר); אפשר ללמוד הרבה על חבורה מתוך גורמי ההרכב שלה. חבורה שגורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה.

מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש, אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.

[עריכה] תכונות

כל תת-חבורה וכל חבורת-מנה של חבורה פתירה, הן פתירות. לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

דוגמאות לחבורות פתירות:

כל חבורה אבלית היא חבורה נילפוטנטית, וכל חבורה נילפוטנטית היא פתירה.

כל חבורת-p סופית ( עבור p ראשוני ) הינה פתירה.

התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה G פתירה:

G ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית N, כך ש- N ו- G/N שתיהן פתירות.
G ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
יש ל- G סדרה נורמלית שהגורמים שלה הם חבורות אבליות.
קיים n טבעי כך ש- $\ G^{(n)}=1$ (כאשר $\ G^{(n)}$ תת חבורת הנגזרת מסדר n.)
ל- G סופית יש סידרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.