כפולה משותפת מינימלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

כפולה משותפת מינימלית של שני מספרים שלמים שאינם שניהם אפס, היא המספר השלם החיובי הקטן ביותר ששני המספרים הנתונים מחלקים אותו. לדוגמה, הכפולה המשותפת המינימלית של 21 ו-6 היא 42. אפשר לחשב את הכפולה המשותפת המינימלית על-ידי פירוק המספרים לגורמים ראשוניים, או, עבור מספרים גדולים, על-ידי חילוק המכפלה שלהם במחלק המשותף המקסימלי.

[עריכה] שימושים

אחד השימושים הנפוצים ביותר לכפולה משותפת מינימלית היא בחיבור שברים: המכנה המשותף הוא פשוט המחלק המשותף המקסימלי של שני המכנים.

למשל, כפי שציינו קודם, הכפולה המשותפת המינימלית של 21 ו-6 היא 42. על כן:

$\ \frac{1}{6}+\frac{5}{21}=\frac{7+10}{42}=\frac{17}{42}$ .

אם היינו בוחרים בתור מכנה כפולה גדולה יותר של המספרים, היינו מקבלים שבר שניתן לצמצם, למשל:

$\ \frac{1}{6}+\frac{5}{21}=\frac{21+30}{126}=\frac{51}{126}=\frac{17}{42}$

[עריכה] מציאת הכפולה המשותפת המינימלית

על מנת לחשב את הכפולה המשותפת המינימלית של שני מספרים ניתן להיעזר במחלק המשותף המקסימלי שלהם: אם $\ a,b$ הם המספרים, ואנו מסמנים בתור $\ gcd(a,b)$ את המחלק המשותף המקסימלי ובתור $\ lcm(a,b)$ (מלשון Least Common Multiple) את הכפולה המשותפת המינימלית, אז הקשר בין שני הערכים הללו נתון על ידי הנוסחה $\ lcm(a,b)=\frac{a\cdot b}{gcd(a,b)}$ . מכאן בפרט נובע כי עבור שני מספרים זרים, הכפולה המשותפת המינימלית שלהם היא מכפלתם.