פירוק לגורמים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, פירוק לגורמים הוא פירוקו של אובייקט לרכיבים קטנים יותר, הקרויים גורמים, כך שמכפלת הגורמים זה בזה תתן את האובייקט המקורי. דוגמאות:

את המספר 6936 ניתן לפרק לגורמים ראשוניים 17² · 3 · 2³ = 6936
את הפולינום x² - 4 ניתן לפרק לגורמים (x - 2)(x + 2).

המטרה של הפירוק לגורמים היא להביא את האובייקט לאבני הבניין היסודיות שלו:

בפירוק של מספר שלם לגורמים עוסק המשפט היסודי של האריתמטיקה, הקובע שלכל מספר שלם קיימת הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים (מלבד שינוי בסדר הופעת המספרים הראשוניים). תכונה זו של המספרים הראשוניים הופכת אותם למעין "אטומים" של המספרים השלמים.
בפירוק של פולינום לגורמים עוסק המשפט היסודי של האלגברה.

ידיעת הפירוק לגורמים של מספר מסוים מספקת ידיעה מלאה על כל מחלקיו של מספר זה. דוגמה: הפירוק לגורמים של המספר 6936 המופיע לעיל מלמד אותנו שכל מחלק של מספר זה הוא מהצורה $2^a \cdot 3^b \cdot 17^c$ כאשר $0 < a \le 3, 0 < b \le 1, 0 < c \le 2$ .
זה מביא אותנו ל-3 · 1 · 2 = 6 מחלקים בסך הכל.

פירוק לגורמים של מספר שלם גדול במיוחד (בן מאות ספרות) הוא בעיה שפתרונה, באמצעות האלגוריתמים הידועים כעת למטרה זו, דורש מאות שנים, גם כאשר משמשים למטרה זו המחשבים המהירים ביותר. קושי זה הוא הבסיס לשיטות להצפנה במפתח ציבורי.