מחלק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בחלוקת מספרים. לערך העוסק במחלק על משטח רימן, ראו משטח רימן.

במתמטיקה, מספר שלם a הוא מחלק של מספר שלם b אם אפשר לכתוב את b כמכפלה של a במספר שלם אחר. במקרה כזה, השארית בחלוקה של b ב-a היא 0. לדוגמה: 5 הוא מחלק של המספר 35, אך לא של המספר 33.

נהוג לסמן מחלקים כך: a|b פירושו "a מחלק את b."

למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה במתמטיקה.

[עריכה] הכללה

כאשר עוסקים בחוג כלשהו, גם כן ניתן לדבר על יחס של חלוקה. נאמר כי איבר $\ a$ הוא מחלק של איבר $\ b$ אם קיים בחוג איבר $\ c$ כך ש- $\ b=ac$ .

מושג המחלק הוא בסיסי לצורך עיסוק במושג של תחום פריקות חד ערכית.

[עריכה] מספר מחלקיו של מספר שלם

משפט: מספר המחלקים של מספר שלם המיוצג בצורה:

$\!\, {p_1}^{x_1}\cdot{p_2}^{x_2}\cdot{p_3}^{x_3}\cdot...\cdot{p_n}^{x_n}$

כאשר המספרים: $\!\, p_1,...,p_n$ ראשוניים, והמספרים: $\!\, x_1,...,x_n$ שלמים, (על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, לכל מספר שלם יש הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים), הוא:

$\ (x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)...(x_n+1)$

מכאן, הפונקציה האריתמטית $\ d(n)$ הסופרת את המחלקים של $\ n$ , היא פונקציה כפלית.

לדוגמה ניקח את המספר 12. ברור כי למספר 12 יש בדיוק שישה מחלקים: 1,2,3,4,6,12
נציג את המספר כמכפלה של ראשוניים: $\!\, 2^2\cdot3^1$ , על פי המשפט נובע כי למספר 12 יש בדיוק: $\!\, (2+1)\cdot(1+1)=3\cdot2=6$ מחלקים.

הוכחה: כדי להיווכח בנכונות המשפט די לשים לב לכך שכל מחלק של המספר $\ {p_1}^{x_1}\cdot{p_2}^{x_2}\cdot{p_3}^{x_3}\cdot...\cdot{p_n}^{x_n}$ הוא מהצורה $\ {p_1}^{y_1}\cdot{p_2}^{y_2}\cdot{p_3}^{y_3}\cdot...\cdot{p_n}^{y_n}$ כאשר $\ 0\le y_i\le x_i$ .

כלומר, לכל וקטור מהצורה $\ (y_1,\dots,y_n)$ עם $\ 0\le y_i\le x_i$ מותאם מחלק אחד ויחיד. מקומבינטוריקה בסיסית מקבלים כי מספר הווקטורים הזה הוא בדיוק $\ (x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)...(x_n+1)$ , שכן יש לנו $\ x_1+1$ בחירות אפשריות לקואורדינטה הראשונה, $\ x_2+1$ בחירות לקואורדינטה השנייה וכן הלאה.