יחס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק ביחס בתורת הקבוצות. לערך העוסק במשמעויות אחרות של המלה "יחס", ראו יחס (פירושונים).

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, יחס (או רלציה) הוא שיטה נוחה לדבר על פעולות, סדרים ודברים נוספים שאפשר להגדיר לגבי קבוצה. יחס הוא למעשה קבוצה שמכילה זוגות סדורים של איברים, כך שהאיברים הראשונים בזוג תמיד באים מקבוצה מסוימת - $\ A$ , והאיברים במקום השני באים מקבוצה נוספת - $\ B$ , זאת בלי לדרוש כלום על היחס בין $\ A$ ו- $\ B$ (הכלה, שוויון, זרות).

ובכתיב פורמלי:

קבוצה $\ \mathcal{R}$ תיקרא יחס מ- $\ A$ ל- $\ B$ אם $\ \mathcal{R}\subseteq A\times B$ . אם $\ \mathcal{R} \subseteq A\times A$ נאמר ש $\ \mathcal{R}$ יחס על $\ A$ .
אם $\ (a,b) \in \mathcal{R}$ נאמר ש a עומד ביחס עם b ונסמן $\ a\mathcal{R}b$ .

[עריכה] תכונות של יחסים

יחס $\ \mathcal{R}\subseteq A\times A$ ייקרא:

רפלקסיבי אם לכל $\ a\isin A$ יתקיים $\ a\mathcal{R}a$
אנטי רפלקסיבי אם לכל $\ a\isin A$ לא מתקיים $\ (a,a)\isin \mathcal{R}$
סימטרי אם לכל $\ a,b\isin A$ , מתקיים $\ a\mathcal{R}b \iff b\mathcal{R}a$ .
א-סימטרי אם לכל $\ a,b\isin A$ , מכך ש־ $\ a\mathcal{R}b$ נובע שלא $\ b\mathcal{R}a$ .
אנטי-סימטרי אם לכל $\ a,b\isin A$ , מהתקיימות $\ a\mathcal{R}b$ וגם $\ b\mathcal{R}a$ נובע ש־ $\ a=b$ .
טרנזיטיבי אם לכל $\ a,b,c\isin A$ , מכך ש־ $\ a\mathcal{R}b$ וגם $\ b\mathcal{R}c$ נובע שגם $\ a\mathcal{R}c$ .

היחס "צאצא ביולוגי", למשל, הוא דוגמה ליחס אנטי רפלקסיבי (אדם אינו צאצא של עצמו), א-סימטרי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' אז ב' 'אינו צאצאו של א') וטרנזיטיבי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' וב' בתורו הוא צאצא של ג', אז א' גם הוא צאצא של ג').