מי שהיה נשוי שלוש נשים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מי שהיה נשוי (ל)שלוש נשים הוא משפט הפתיחה של משנה במסכת כתובות (י, ד), העוסקת בחלוקת רכוש בין מספר נושים. המשנה דנה בדוגמה של חלוקת עזבונו של אדם בין שלוש אלמנותיו, אולם מציינת שאותו הכלל תקף גם למקרים כגון פירוק שותפות. במשנה מוצג אופן החלוקה בשלושה מקרים שבהם העיזבון אינו גדול דיו כדי לכסות את הסכום שהובטח בכתובה לכל אחת מהנשים. פרשני המשנה התקשו למצוא את הכלל המנחה שעל פיו נקבעו מקרים אלו, והמשנה נותרה ללא פירוש משביע רצון. בשנת 1985 הציעו ישראל אומן ומיכאל משלר פתרון אפשרי לבעיה, שמבוסס על הכללת שיטת החלוקה שמתוארת במשנה שניים אוחזין, הפותחת את מסכת בבא מציעא. הפתרון הוא חדשני בכך שהוא התגלה באמצעות הפעלת כלים מתורת המשחקים המודרנית (תחום התמחותו של אומן) על טקסט מן המשנה.

[עריכה] תיאור המשנה

במשנה עצמה נאמר:

	מי שהיה נשוי שלש נשים ומת, כתובתה של זו מנה ושל זו מאתים ושל זו שלש מאות ואין שם (בעיזבונו) אלא מנה - חולקין בשוה; היו שם מאתים - של מנה נוטלת חמשים, של מאתים ושל שלש מאות שלשה שלשה של זהב; היו שם שלש מאות - של מנה נוטלת חמשים ושל מאתים מנה ושל שלש מאות ששה של זהב. וכן שלושה שהטילו לכיס (השקיעו בשותפות) - הותירו או פחתו, כך הן חולקין
-- משנה כתובות, י, ד

המשנה אינה מתייחסת לסדר קדימויות כלשהו שעשוי להתקיים בין הנשים (למשל, כזה שנקבע על פי הסדר שבו נישאו לנפטר), ועל כן החלוקה שמוצגת בה מתבססת אך ורק על גודל הכתובה של כל אחת מהנשים. שוויו של ה"מנה" הוא מאה דינרי כסף, ושוויו של דינר זהב הוא 25 דינרי כסף. סיכום של המשנה מופיע בטבלה הבאה:

		הכתובה
		100	200	300
גודל העיזבון	100	$\ 33 \frac{1}{3}$	$\ 33 \frac{1}{3}$	$\ 33 \frac{1}{3}$
	200	$\ 50$	$\ 75$	$\ 75$
	300	$\ 50$	$\ 100$	$\ 150$

העיקרון הכללי שמנחה את החלוקה אינו ברור. כאשר גודל העיזבון הוא 100, מתבצעת חלוקה שווה - כל אחת מהנשים מקבלת אותו הסכום מהעיזבון. כאשר גודל העיזבון הוא 300, מתבצעת לכאורה החלוקה על פי כלל אחר - כל אישה מקבלת סכום השקול לגודלה היחסי של כתובתה. במקרה שבו גודל העיזבון הוא 200, לא ברור אם יש כלל פשוט שיסביר את החלוקה המתקבלת, שבה מקבלות שתי הנשים בעלות הכתובה הגבוהה יותר סכום זהה, הגדול מזה של בעלת הכתובה הקטנה יותר.

[עריכה] ההסבר בתלמוד ופרשניו

התלמוד הבבלי (צג, א) מתקשה בהסברה של המשנה, ומעמיד אותה כמתקיימת במקרים חריגים בלבד. שיטתו של האמורא שמואל היא שהדין אמור רק במקרים שבהם בעלת אחת הכתובות מוותרת לשנייה על הסכום שזו תובעת. משמו של רבינא מובאת הדעה שהמשנה עוסקת במקרה שבו האלמנות החילו את כסף הכתובה על מטלטלין פעמיים ("בשתי תפיסות"), כך שהדיון אינו נערך בבת אחת, אלא כל פעם על סכום אחר. בסופו של הדיון נאמר שדין המשנה אינו מוסכם, ומובאת דעתו של רבי יהודה הנשיא, שמציע חלוקה שווה בשווה: "תניא: זו משנת רבי נתן. רבי אומר: אין אני רואה דבריו של רבי נתן באלו, אלא חולקות בשוה".

פירוש המשנה עורר קושי גם בין פרשני המשנה והתלמוד המאוחרים יותר, שלא מצאו לה פתרון המניח את הדעת. לדוגמה, הרי"ף, שבדרך כלל מסתפק בציטוט מתומצת של קטע הגמרא הנפסק להלכה, הקדיש לסוגיה כמעט שלושה עמודים, ופתח במילים "הא מתניתין וגמרא דילה שקלי וטרו בה קמאי ז"ל, ולא סלקא להון כל עיקר" ("משנה זו והגמרא שלה נשאו ונתנו בה הקדמונים ז"ל, ולא עלתה בידם כל עיקר").

[עריכה] שיטתם של אומן ומשלר

ישראל אומן החל לעסוק במשנה לאחר שבנו שלמה הביא אותה לתשומת לבו, בעת דיון שניהלו השניים על מאמר ^[1] שעסק במספר בעיות תלמודיות אחרות. אומן, יחד עם מיכאל משלר, ניסה לפתור את הבעיה באמצעות כלים מתורת המשחקים, שלא היו זמינים למפרשי התלמוד וסייעו לשפוך אור חדש על הבעיה. התברר כי החלוקה שמוצגת במשנה תואמת את אחת משיטות הפתרון שבהן עוסקת תורת המשחקים - שיטה המבוססת על מושג הנקרא "הגרעינון של משחק". אף שהמושג מורכב למדי ולא סביר שהיה מוכר לכותבי המשנה, ניתוח התכונות שלו סייע במציאת העיקרון שכנראה הנחה את המשנה.

בשנת 1985 פרסמו אומן ומשלר מאמר בכתב העת Journal of Economic Theory שבו הציגו את הבעיה והציעו לה פתרון, אשר מתבסס על שיטת החלוקה המוצגת במשנה "שניים אוחזין" שבמסכת בבא מציעא. במשנה זו נאמר:

	שנים אוחזין בטלית... זה אומר: כולה שלי. וזה אומר: חציה שלי... זה נוטל שלשה חלקים, וזה נוטל רביע
-- משנה בבא מציעא, א, א

כאן מוצג מקרה פשוט יותר, שניתן לראות כעוסק בחלוקת חוב בין שני נושים. כלל החלוקה במקרה זה הוא של חלוקה שווה של הסכום השנוי במחלוקת: האדם שטוען לבעלות על מחצית מהטלית מסכים כי המחצית השנייה שייכת לאדם השני, ולכן הסכום השנוי במחלוקת במקרה זה הוא רק מחצית הטלית. מחצית זו מחולקת שווה בשווה בין שני הנושים - וכך האחד נותר עם רבע טלית, והשני עם שלושת רבעי טלית.

אומן ומשלר שמו לב לכך שהחלוקה המוצעת במשנה של שלוש הנשים מקיימת את התכונה הבאה: לכל זוג אלמנות מתקיימת חלוקה על פי כלל "שניים אוחזין", אם מחלקים ביניהן את הסכום שנותר לאחר שהאלמנה השלישית קיבלה את חלקה.

למשל, במקרה שבו גודל העיזבון הוא 200, אם נותנים לאלמנה השלישית את הסכום שהובטח לה בחלוקה - 75 - נותרים עם סכום של 125 לחלק בין שתי הנותרות. מכיוון שהאישה הראשונה תובעת סכום של 100 והשנייה סכום של 200, ישנם 25 זוזים שאינם שנויים במחלוקת (האישה הראשונה מסכימה שהם שייכים לאישה השנייה) ולכן על פי שיטת "שניים אוחזין", 100 הזוזים השנויים במחלוקת יתחלקו שווה בשווה בין שתי הנשים. לכן הראשונה תקבל 50 והשנייה תקבל בסך הכול 75 - בדיוק כפי שמוצג בטבלה.

בדומה, אם נותנים לאלמנה הראשונה את הסכום שהובטח לה בחלוקה - 50 - נותרים עם סכום של 150 לחלק בין שתי הנותרות. במקרה זה כל הסכום שנוי במחלוקת (כי האחת דורשת 200 והשנייה 300) ולכן כולו יתחלק שווה בשווה, ושוב תתקבל החלוקה שכבר כתובה בטבלה. לא קשה לראות כי תכונה זו מתקיימת לכל זוג אפשרי מתוך הטבלה.

בעקבות גילוי זה הגדירו אומן ומשלר חלוקה כתואמת שניים אוחזין אם התכונה הזו מתקיימת עבורה - כלומר, אם לכל זוג נושים, הסכום מתחלק ביניהם על פי שיטת שניים אוחזין. הם הוכיחו כי לכל גודל של עיזבון ולכל מספר של נושים קיימת חלוקה שהיא תואמת שניים אוחזין, וכי החלוקה הזו היא יחידה, דהיינו שאין שיטה אחרת שתוכל לתאום לחלוקה זו לכל מצב. כמו כן, הם הציעו שיטה לחשב אותה באופן מעשי.

[עריכה] שיטת החלוקה והוכחת נכונותה

חלוקת העיזבון בין שתי נשים במקרה א': העיזבון קטן מכל אחת מהכתובות, ולכן הנוזל אינו מגיע אף לחצי מקיבול כל אחד מהכלים

ניתן להמחיש בצורה ויזואלית את שיטת החלוקה, כמו גם להוכיח אותה, באמצעות חוק הכלים השלובים.

לכל אישה יש כלי משלה, אשר הקיבולת שלו שקול לגודל הכתובה של האישה. הכלים כוללים שני חלקים (עליון ותחתון) שווים בגודלם המחוברים ביניהם בצינורית דקה בעלת קיבולת זניחה. הכלים של כל הנשים הם בעלי גובה ורוחב שווים ונבדלים בגובה הצינורית הדקה (ראו איור). הכלים מחוברים זה לזה בתחתיתם בצינורית דקה בעלת קיבולת זניחה, כך שנוזל המוכנס אליהם יתחלק לפי עקרון הכלים השלובים. כמות הנוזל שמוכנס לכלים שקול לגודל העיזבון וגובהו יהיה שווה בכל הכלים. הנוזל יתחלק בהתאם לכלל של המשנה, כך שכל אישה תקבל בדיוק את המגיע לה.

נדון קודם במקרה בו ישנן שתי נשים בלבד, מכיוון שבעזרתו ניתן להוכיח את המקרה הכללי. נפריד בין שלושה מקרים אפשריים:

[עריכה] מקרה א'

במקרה א', העיזבון קטן יותר מכל אחת מהכתובות של הנשים. באיור הדבר מתבטא בכך שגובה פני הנוזל לא מגיע אף למחצית הכלי הקטן יותר, ועל כן הוא מתחלק באופן שווה בין הכלים, בהתאם לכלל שנגזר ממשנת "שניים אוחזין" עבור המקרה שבו כל הסכום שנוי במחלוקת.

החלוקה השווה של הנוזל בין הכלים נפסקת כאשר מתמלא חלקו התחתון של הכלי הקטן, ונותר עוד נוזל לחלוקה. זה קורה כאשר הכמות הכוללת של הנוזל גדול מהקיבול של הכלי הקטן כולו - כלומר, כאשר גודל העיזבון גדול מהכתובה הקטנה יותר.

[עריכה] מקרה ב'

חלוקת העיזבון בין שתי נשים במקרה ב': שני המקרים האפשריים מוצגים

במקרה ב', העיזבון גדול מהכתובה של האישה הראשונה, אך קטן מהכתובה של האישה השנייה. כאן ניתן להבחין בשני מצבים שונים בכלים השלובים: בכלי הראשון, הגדול יותר, הנוזל לא ממלא את כל חציו התחתון וגם לא נוגע כלל בחציו העליון. אבל בכלי השני, הקטן יותר הוא כן ממלא לחלוטין את החצי הראשון, אך עדיין לא מתחיל להכנס בחצי השני. בכל המקרים הללו העיקרון דומה: כל הנוזל שמתווסף בשלב זה מתווסף רק לכלי הגדול יותר (שכן בכלי הקטן יותר הדבר היחיד שמתמלא הוא הצינורית, שאנו מניחים שמכילה כמות זניחה של נוזל).

הדבר מתאים לחלוקה שאמורה להתקיים בשלב זה: העיזבון גדול מהכתובה של האישה הראשונה, והיא אינה מתייחסת לסכום הנוסף כאל סכום שנוי במחלוקת, ולעומת זאת האישה השנייה תובעת גם אותו, ולכן כולו הולך אל האישה השנייה.

[עריכה] מקרה ג'

המחשת הדוגמה

חלוקת העיזבון בין שתי נשים במקרה ג'.

המקרה השלישי הוא המורכב מבין השלושה. כאן העיזבון הכולל גדול הן מהדרישה של האישה הראשונה והן מהדרישה של האישה השנייה (אך עדיין אינו גדול מספיק כדי לכסות את הדרישות של שתי הנשים גם יחד). בתור דוגמה ניתן להתבונן במצב בו שתי הכתובות הן בסך 100 ו-150, ואילו העיזבון הוא בגודל 200. במקרה זה האישה הראשונה (הקו האדום באיור) דורשת 100 זוזים בלבד ולכן היא מוותרת לרעותה על ה-100 הנותרים, והשנייה (הקו הכחול באיור) לוקחת 150 בלבד ולכן מוותרת לרעותה על ה-50 הנותרים. לכן נותרו 50 זוזים בלבד השנויים במחלוקת (באיור - שטח החפיפה בין שתי הדרישות), שמחולקים שווה בשווה (והחלוקה המתקבלת היא 75 לראשונה, 125 לשנייה).

בדוגמה ניתן לראות כי ההפרש בין הכתובות הוא גם ההפרש בין החלוקה שבוצעה. זוהי תכונה כללית המאפיינת את מקרה ג': הסכום עליו מוותרת האישה השנייה לרעותה הוא ההפרש בין הכתובות של שתיהן, ואילו שאר הסכום (השנוי במחלוקת) מתחלק ביניהן שווה בשווה. כלומר, גודל ההפרש בין מנת החלוקה שתקבל האישה הראשונה ומנה שתקבל האישה השנייה שווה בגודלו לסכום שעליו ויתרה האישה השנייה.

קל לראות כי תכונה כללית זו - ההפרש בין הכתובות הוא ההפרש בין המנות - מתקיימת גם עבור הכלים: ההפרש בין כמות הנוזלים שבשני הכלים הוא בדיוק ההפרש המקורי בנפח שלהם, שבא לידי ביטוי בחלק האמצעי של הכלים (שבו יש צינורית בלבד עבור הכלי הקטן יותר, אך חלק מכלי הקיבול עבור הכלי הגדול יותר). הסיבה לכך היא שהחלק העליון של שני הכלים זהה ברוחבו, ולכן מרגע שחלק זה התחיל להתמלא בשני הכלים, כל תוספת נוזל תתחלק שווה בשווה בין שניהם.

[עריכה] החלוקה במקרה הכללי

דוגמה לחלוקת העיזבון כאשר יש ארבע נשים שלכל אחת כתובה בגודל שונה

הכללה של הבעיה, שבה יש קבוצה מגודל כלשהו של נשים שלכל אחת כתובה משל עצמה, אינה שונה בבסיסה מהמקרה הפרטי של שתי נשים.

בכדי להיווכח כי החלוקה שמושרית על ידי הכלים היא אכן "תואמת שניים אוחזין", די לראות כי אם בוחנים כל זוג כלים בנפרד ומנתקים אותו מהיתר, שני הכלים מתאימים לאחד משלושת המקרים שתוארו למעלה, ולכן מצייתים לכלל "שניים אוחזין". יתר על כן, ברור כי החלוקה שמושרית על ידי הכלים היא החלוקה היחידה שמקיימת את התכונה הזו - בכל חלוקה אחרת גובה פני הנוזל לא יהיה אחיד לכל הכלים, וכשנבחן זוג כלים שבו פני הנוזל אינם באותו הגובה נקבל שבזוג כלים זה החלוקה אינה על פי "שניים אוחזין".

[עריכה] תיאור פורמלי של שיטת החלוקה

אף שההמחשה באמצעות חוק הכלים השלובים שהוצגה קודם מסייעת רבות להבנת הפתרון, היא אינה מאפשרת ישירות את ביצוע החישוב שמוצא, בהינתן אוסף כתובות וגודל עיזבון, את החלוקה המבוקשת. להלן אלגוריתם שעושה זאת:

האלגוריתם מפריד בין שני מקרים - במקרה הראשון, העיזבון קטן יותר ממחצית סכום כל הכתובות, ובשני הוא גדול יותר. במקרה הראשון מתחילים ממצב בו "הכלים ריקים" - אף אישה לא קיבלה דבר. בכל סיבוב של האלגוריתם, מחולק זוז נוסף מהעיזבון שווה בשווה בין כל הנשים, עד אשר חולק סכום השווה למחצית הכתובה של האישה בעלת הכתובה הקטנה ביותר (כלומר, החצי התחתון של הכלי שלה התמלא). לאחר מכן ממשיכים את החלוקה שווה בשווה בין שאר הנשים עד אשר מחולק להן סכום השווה למחצית הכתובה השנייה בקוטנה, ואז מוציאים גם אותה מהחלוקה, וכן הלאה.

הטיפול במקרה השני דומה, אלא שבמקרה זה מתחילים ממצב בו "הכלים מלאים" - כל הנשים קיבלו את כל כתובתן, ומתחילים לחסר מהן שווה בשווה, כאשר מפסיקים לחסר מאישה שהגיעה למחצית כתובתה.