משפט השלמות של גדל
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט השלמות, אותו הוכיח קורט גדל בעבודת הדוקטורט שלו בשנת 1929, הוא אחד המשפט היסודיים בלוגיקה מתמטית. המשפט קושר שתיים מן הדרכים היסודיות לטיפול המתמטי במושגים של אמת ושקר, נכון ולא נכון: הנכונות של טענה בכל מודל למערכת אקסיומות, לעומת האפשרות לבנות הוכחה מתוך האקסיומות.
לפי משפט השלמות, לכל תורה עקבית קיים מודל (שהוא בן מניה אם מערכת האקסיומות של התורה סופית, וגודלו אינו עולה על גודלה של מערכת האקסיומות, אחרת). בניסוח אחר, כל טענה שהיא נכונה - בכל מודל של מערכת אקסיומות נתונה - ניתן להוכיח באופן פורמלי מתוך מערכת האקסיומות.
גרסה פופולרית של משפט אי השלמות הראשון של גדל קובעת ש"בכל תורה, קיימת טענה אמיתית שאינה ניתנת להוכחה". משפט השלמות סותר במפורש את הניסוח הזה: כל משפט שהוא אמיתי (בכל מודל), ניתן להוכחה. אכן, לפי משפט אי השלמות קיימת בתורה (חזקה מספיק, דהיינו אריתמטית, אפקטיבית ועקבית)) נוסחה שאינה ניתנת להוכחה (וגם לא לסתירה) - אבל אין זה נכון שנוסחה זו נכונה בכל מודל. אדרבא, לפי משפט השלמות, קיים מודל שבו היא נכונה, וקיים מודל שבו היא אינה נכונה.
