סינגולריות (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק במתמטיקה. לערך העוסק בשימושים אחרים במילה "סינגולריות", ראו סינגולריות (פירושונים).

נקודה סינגולרית (מתמטיקה) היא נקודה שבה פונקציה (בדרך כלל פונקציה מרוכבת) או משוואה דיפרנציאלית איננה מוגדרת היטב.

תוכן עניינים

1 נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות
- 1.1 נקודות סינגולריות מבודדות
2 נקודות סינגולריות במשוואות דיפרנציאליות
3 יישויות מתמטיות סינגולריות אחרות

[עריכה] נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות

[עריכה] נקודות סינגולריות מבודדות

נקודת סינגולריות מבודדת היא נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת היטב, אך בסביבתה היא מוגדרת. יש שלושה סוגים שונים של נקודות סינגולריות מבודדות, כשההפרדה בהן נעשית על ידי הפיתוח לטור לורן שלהן.

סינגולריות סליקה: נקודה בה לא קיימות חזקות שליליות בטור לורן, כלומר הפונקציה מיוצגת על ידי טור טיילור. ניתן להגדיר את הפונקציה בנקודה זו על ידי הגבול שלה באותה נקודה ובכך לקבל פונקציה אנליטית. למשל: $\ \frac{\sin z}{z}$ היא בעלת סינגולריות סליקה בנקודה $\ z=0$ - היא אינה מוגדרת שם, אך ניתן להגדיר שהיא שווה 1, ובכך לקבל פונקציה אנליטית.
קוטב מסדר n: נקודה בה החזקה המינימלית בטור לורן היא $\ -n$ . זוהי נקודה בה הפונקציה מתבדרת לאינסוף כמו 1 חלקי המרחק בחזקת n.
סינגולריות עיקרית: נקודה בה קיימות אינסוף חזקות בחלק העיקרי של טור לורן (החלק בעל החזקות השליליות). בכל סביבה של נקודה זו הפונקציה יכולה לקבל (כמעט) את כל הערכים האפשריים, בניסוח יותר מדויק: לכל סביבה של נקודה זו, התמונה של הפונקציה בסביבה זו צפופה במישור המרוכב (משפט קאסוראטי-ויירשטראס).

[עריכה] נקודות סינגולריות במשוואות דיפרנציאליות

עבור משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר כלשהו, אפשר להגדיר נקודות סינגולריות באמצעות הצגתה כמשוואת אוילר. נקודות סינגולריות קורות כאשר המקדם של הנגזרת הגבוהה ביותר מתאפס. סביב נקודות סינגולריות אפשר לנחש פתרון בצורה של טור אינסופי, שיטה זו נקראת שיטת פרוביניוס.