פולינום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פולינום (מילולית: רב-איבר) הוא ביטוי מהצורה $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ שבו המקדמים $\ a_i$ הם איברי חוג או שדה. למשל, 'פולינום ממשי' הוא פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים. יש לשים לב כי המונח "פולינום ממשי" מגביל רק את מקדמי הפולינום. אין הנחה נוספת לגבי הערכים שניתן להציב במשתנה X. זאת כיוון שהפולינום הינו אובייקט מתמטי פורמלי, ולא בהכרח פונקציה.

ה- $\ n$ הגבוה ביותר שעבורו $\ a_n\ne 0$ , כלומר החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום, הוא המעלה של הפולינום. המקדם $\ a_n$ נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל- 1, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן.

אם מקדמי הפולינום $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ שייכים לשדה $\ F$ , אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית $\ f:F\rightarrow F$ באמצעות הצבה: $\ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0$ . פונקציה מהצורה $p(x)=\frac{g(x)} {h(x)}$ , כאשר $\ g(x), h(x)$ הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

תוכן עניינים

1 שורש של פולינום
- 1.1 משוואות ממעלה נמוכה
- 1.2 פולינום במקדמים רציונליים
2 חוג הפולינומים
3 קישורים

[עריכה] שורש של פולינום

שורש או אפס של הפולינום $\ f(x)$ הוא ערך $\ r$ שעבורו מתקיים $\ f(r) = 0$ . קביעת השורשים של פולינום הוא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

משוואה ממעלה ראשונה, כלומר משוואה מהצורה $\ ax+b=0$ ידועה בשם משוואה לינארית, וגורם מהצורה $\ ax+b$ נקרא גורם לינארי.

משוואה ממעלה שנייה, כלומר משוואה מהצורה $\ ax^2+bx+c=0$ ידועה בשם משוואה ריבועית.

שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה-16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של פולינום ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם קארדאנו ספר שבו יחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קארדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה-19 הוכיח נילס הנריק אבל שאין פתרון כללי לפולינום שמעלתו גדולה מ-4.

למשוואות מסוימות, כגון המשוואה $\ 0=x^2+1$ , אין פתרון במספרים ממשיים, אך יש לה פתרון במספרים מרוכבים. בהתאם למשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה $\ n$ יש בדיוק $\ n$ פתרונות (לאו דווקא שונים) בשדה המספרים המרוכבים.

כאשר המקדמים $\ a_i$ של הפולינום הם מספרים רציונליים, הפתרון נקרא מספר אלגברי. מספר טרנסצנדנטי הוא כזה שאינו פתרון של אף משוואה מהצורה הזו.

[עריכה] משוואות ממעלה נמוכה

באמצעות השלמה לריבוע קל להראות שהפתרון הכללי של המשוואה הריבועית

$\ ax^2+bx+c=0$

הוא

$\ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

הפתרון המלא למשוואה ממעלה שלישית או רביעית מתואר בערכים המתאימים.

[עריכה] פולינום במקדמים רציונליים

למרות שלא ניתן, באופן כללי, למצוא על ידי נוסחא שורשים של פולינומים ממעלה גדולה מ-4, לעתים ניתן לפשט את הבעיה על ידי שימוש במשפט הבא:

משפט: יהי $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש $\frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום $\ f$ . אזי מתקיים: $\ c$ מחלק את $\ a_0$ ו- $\ d$ מחלק את $\ a_n$ .

מסקנה: אם נתון פולינום במקדמים רציונליים, כדאי לנחש בתור שורש מספר רציונלי שמקיים את תנאי המשפט לעיל. יש רק מספר סופי של מספרים כאלה ויש לבדוק את כולם על ידי הצבה. אחרי שמצאנו את כל השורשים מבין המספרים האלה (ייתכן שכולם שורשים וייתכן גם שאף אחד הוא לא שורש) נחלק את הפולינום ב $\ \prod_j{(x - r_j)}$ (מכפלת פולינומי היסוד של השורשים שמצאנו) ונקבל פולינום ממעלה נמוכה יותר.

[עריכה] חוג הפולינומים

קבוצת כל הפולינומים האלגבריים מהווה חוג אוקלידי. נדון בקצת מתכונותיהן:

[עריכה] לינאריות

אם $\ x_0$ שורש של פולינום $\ p$ (כלומר, $\ p(x_0)=0$ ) אזי הוא שורש של הפולינום $\ q=\lambda p$ לכל סקלר $\ \lambda$ . כיוון ש -

$\ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0$

אם $\ x_0$ הוא שורש של הפולינומים $\ p,q$ , (כלומר, $\ p(x_0)=q(x_0)=0$ ) אזי הוא גם השורש של סכומם $\ p+q$ , כיוון ש -

$\ [q+p](x_0)=q(x_0)+p(x_0)=0+0=0$

לכן, קבוצת כל הפולינומים ממעלה $\ n$ אשר $\ x$ הינו שורש שלהם מהווים מרחב וקטורי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר.

[עריכה] אוקלידיות

נתונים פולינום $\ p,q$ , כך שמעלת $\ q$ גדולה ממעלת $\ p$ . אזי תמיד אפשר לרשום -

$\ q = s \cdot p + r$

כאשר $\ s$ נקרא פולינום המנה ו- $\ r$ נקרא פולינום השארית ומעלתו קטנה מהמעלה של $\ p$ . חשוב לציין שפולינום המנה $\ s$ ופולינום השארית $\ r$ נקבעים ביחידות. נאמר ש- $\ q$ מתחלק ב- $\ p$ אם ורק אם $\ r=0$ .