שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

לחלק מהאינטגרלים לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים אנליזה נומרית) עבור גבולות מסוימים של אינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:

[עריכה] זוגיות ואי זוגיות

כאשר יש פונקציות שהיא אי זוגית ביחס לנקודה a, כלומר מתקיים $\ f(a+x)=f(a-x)$ והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה a, כלומר הגבולות הם מהצורה $\ (a-b, a+b)$ אזי האינטגרל הוא אפס. למשל $\int _{\pi} ^{3 \pi} \sin x dx = 0$ .

פונקציה זוגית סביב הנקודה a ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה a) תוך הכפלה בשניים. למשל: $\int _{-8} ^{8} \left| x \right| dx= 2\int _0 ^{8} x dx =2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8 =\left[x^2 \right]_0^8 = \left( 64-0 \right)=64$

[עריכה] חישוב במסלול סגור במישור המרוכב

כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שיווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט אינטגרל קושי, נוסחת אינטגרל קושי, ובעיקר משפט השאריות. השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור C המכיל את הקטע $\ (a, b)$ המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן ב-I), וחישוב האינטגרל במסלול C (אותו נסמן ב-I_C) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול. כך מגיעים למשוואה מהצורה: $\ f(I)=I_C$ כאשר f היא פונקציה הפיכה בתחום המתאים ל-I (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).

דוגמאות:

$\int ^{2 \pi} _{0} \frac{1}{1+ \sin x} dx = \left[\begin{matrix} \sin x = \frac{z - z^{-1}}{2} \\ dx = \frac{dz}{iz} \end{matrix}\right] =$	$\oint _{\|z\|=1} \frac{ \frac{dz}{iz}}{1+ \frac{z - z^{-1}}{2}}=-\frac{i}{2} \oint _{\|z\|=1} \frac{dz}{2z+z^2-1}=$
	$-\frac{i}{2} \oint _{\|z\|=1} \frac{\frac{dz}{z+1+\sqrt{2}}}{z+1-\sqrt{2}}=-\frac{i}{2} \cdot 2 \pi i \left[ \frac{1}{z+1+\sqrt{2}} \right] _{z=-1+\sqrt{2}}=$
	$\frac {\pi} {-1+\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}=\frac {\pi} {2 \sqrt{2}}$

את האינטגרל $\int\limits_{ - \infty }^\infty {dx\frac{{\exp \left( {\frac{{ipx}} {\hbar }} \right)}} {{x^2 + a^2 }}}$ כאשר $\hbar>0,p,a$ ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת R לאינסוף. תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:

$\int\limits_{ - \infty }^\infty {dx\frac{{\exp \left( {\frac{{ipx}} {\hbar }} \right)}} {{x^2 + a^2 }}} = \int\limits_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}$

עפ"י נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:

$\int\limits_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} +$	$\int\limits_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} = \oint\limits_C {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}}=$
	$2\pi i\left. {\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{z + \left\| a \right\|i}}} \right\|_{z = \left\| a \right\|i} = 2\pi i\frac{{\exp \left( {\frac{{ip\left\| a \right\|i}} {\hbar }} \right)}} {{\left\| a \right\|i + \left\| a \right\|i}} = \pi \frac{{\exp \left( { - \frac{{p\left\| a \right\|}} {\hbar }} \right)}} {{\left\| a \right\|}}$

עפ"י למת ג'ורדן מקבלים כי: $\lim _{R \to 0} \int_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}} = 0$ ועל ידי הצבה מקבלים:

$\int\limits_{ - \infty }^\infty {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}}=$	$\int\limits_{ - \infty }^\infty {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} + 0 =$
	$\lim_{R \to \infty } \int_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} + \lim _{R \to \infty } \int_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}}=$
	$\lim _{R \to \infty } \left( \int _{- R}^R dz \frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left\| a \right\|i \right) \left( z - \left\| a \right\|i \right)} + \int_{C_R } dz\frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left\| a \right\|i \right) \left( z - \left\| a \right\|i \right)} \right) =$
	$\lim _{R \to \infty } \oint_C {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} = \lim _{R \to \infty } \pi \frac{{\exp \left( { - \frac{{p\left\| a \right\|}} {\hbar }} \right)}} {{\left\| a \right\|}} =$
	$\frac{\pi } {{\left\| a \right\|}}\exp \left( { - \frac{{p\left\| a \right\|}} {\hbar }} \right)$

ובסה"כ מתקיים: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {dx\frac{{\exp \left( {\frac{{ipx}} {\hbar }} \right)}} {{x^2 + a^2 }}}=\frac{\pi } {{\left| a \right|}}\exp \left( { - \frac{{p\left| a \right|}} {\hbar }} \right)$ .

[עריכה] מעבר למערכת קואורדינטות אחרת

כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינאטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה.

דוגמה - חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס R):
עוברים ממערכת קואורדינטות קרטזיות למערכת קואורדינטות פולריות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:

$S(r)=\int ^R_0 dy \int ^{\sqrt{R^2-y^2}}_0 dx =\int ^R_0 r dr \int ^{2\pi}_0 d\phi = \pi R^2$

[עריכה] שימוש בהתמרות

יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה) ולהשתמש בתכונות שלה.

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

The Wolfram Integrator - חישוב אינטגרלים לא מסוימים

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A9/%D7%99/%D7%98/%D7%A9%D7%99%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%A1%D7%95%D7%99%D7%9E%D7%99%D7%9D.html

קטגוריות: ויקיפדיה: ערכים הדורשים השלמה | אנליזה מתמטית

$\int\limits_{ - \infty }^\infty {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}}=$	$\int\limits_{ - \infty }^\infty {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} + 0 =$
	$\lim_{R \to \infty } \int_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} + \lim _{R \to \infty } \int_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}}=$
	$\lim _{R \to \infty } \left( \int _{- R}^R dz \frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left\| a \right\|i \right) \left( z - \left\| a \right\|i \right)} + \int_{C_R } dz\frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left\| a \right\|i \right) \left( z - \left\| a \right\|i \right)} \right) =$
	$\lim _{R \to \infty } \oint_C {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}} {\hbar }} \right)}} {{\left( {z + \left\| a \right\|i} \right)\left( {z - \left\| a \right\|i} \right)}}} = \lim _{R \to \infty } \pi \frac{{\exp \left( { - \frac{{p\left\| a \right\|}} {\hbar }} \right)}} {{\left\| a \right\|}} =$
	$\frac{\pi } {{\left\| a \right\|}}\exp \left( { - \frac{{p\left\| a \right\|}} {\hbar }} \right)$

שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] זוגיות ואי זוגיות

[עריכה] חישוב במסלול סגור במישור המרוכב

[עריכה] מעבר למערכת קואורדינטות אחרת

[עריכה] שימוש בהתמרות

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש