שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

לחלק מהאינטגרלים הלא מסוימים ניתן למצוא פתרון אנליטי כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה: $\int f \left( x \right) dx$ . בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת המשפט היסודי) גם פתרון לאינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:

תוכן עניינים

1 פונקציות אלמנטריות
2 תכונת הלינאריות
3 אינטגרציה של פונקציות עם פרמטר לינארי
4 אינטגרציה בחלקים
5 הצגה שונה של הפונקציה
6 שיטת ההצבה
- 6.1 הצבות טריגונומטריות
- 6.2 הצבות היפרבוליות
7 ראו גם

[עריכה] פונקציות אלמנטריות

לפונקציות שהן חזקות של X, פונקציות טריגונומטריות רגילות והופכיות, פונקציית אקספוננט, לוגיריתם, פונקציות היפרבוליות רגילות והפוכות וכיוצא באלו יש נגזרות אנליטיות. מכיוון שאם מתקיים $\ F'(x)=f(x)$ אזי $\ F(x)+C$ הוא האינטגרל הלא מסוים של $\ f(x)$ ניתן לקבל מנגזרות אלו נוסחאות מיידיות לאינטגרציה.

דוגמאות לכך הן:

$( x^2 )^\prime = 2x \Rarr \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C$

$\sin' (x)=\cos(x) \Rarr \int \cos(x)\, dx = \sin(x) + C$

$\ln' (x)=\frac{1}{x} \Rarr \int \frac{1}{x} \,dx = \ln (x) + C$

[עריכה] תכונת הלינאריות

אם f ו־g הן אינטגרביליות בקטע I ו- $\alpha \ , \ \beta$ מספרים אזי מתקיים:

$\int \left[ \alpha f(x)+ \beta g(x) \right]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx$

לדוגמה:

$\int \left[ \frac{8}{\sin^2 (x)}+3 \cdot 8^x \right]\, dx = 8\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx + 3 \int 8^x dx = -8 \cot(x) + 3 \frac{8^x}{\ln 8} + C$

אפשר להכליל את הנוסחה גם למספר גדול יותר של פונקציות ומקדמיהם.

[עריכה] אינטגרציה של פונקציות עם פרמטר לינארי

כאשר ניתן לכתוב את הפונקציה בתוך האינטגרל בצורה $\ f(ax+b)$ ומתקיים $\ F'(x)=f(x)$ אזי ניתן להשתמש בנוסחה:

$\int f \left( ax+b \right) dx = \frac{1}{a} F \left( ax+b \right) + C$

[עריכה] אינטגרציה בחלקים

ערך מורחב – אינטגרציה בחלקים

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות $\ f,g$ , מתקיים:

$\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx$

דוגמה:

$\int \ln \left( x \right) dx = \int 1 \cdot \ln \left( x \right) dx = x \cdot \ln \left( x \right) -\int 1 dx = x \cdot \ln \left( x \right) - x + C\$

[עריכה] הצגה שונה של הפונקציה

לעתים ניתן להציג את הפונקציה שבתוך האינטגרל בצורה שונה, שניתן לבצע עליה אינטגרציה בצורה קלה יותר. דוגמאות לכך הן למשל:

$\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx \right] = \frac{1}{2} \left( \ln \left | x-1 \right| - \ln \left | x+1 \right| \right) + C= \frac{1}{2}\ln \left | \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

$\begin{matrix} \int e^x \sin x dx & = & \int e^x \cdot \operatorname{Im} e^{ix} dx & = & \operatorname{Im} \int e^{x+ix} dx & = & \operatorname{Im} \left[ \frac{e^{x+ix}}{1+i} \right] & = & \operatorname{Im} \left[ \frac{(1-i)e^{x+ix}}{2} \right] = \\ & = & \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{2} + C\end{matrix}$

[עריכה] שיטת ההצבה

עפ"י כלל השרשרת אפשר להוכיח כי:

$\int f \left[ g \left( x \right) \right] \cdot g' \left( x \right) dx = \int f \left[ \left( t \right) \right] _{t=g \left( x \right)}dt$

$\int f \left( x \right) dx = \int \left( f \left[ g \left( t \right) \right] \cdot g' \left( t \right) \right)_{t=g^{-1} \left( x \right)} dt$

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

$\int \frac{dx}{x \sqrt {1 - \ln ^2 x}}=\left[t\equiv \ln x\right] = \int \frac {dt} {\sqrt {1-t^2}}= \sin ^{-1} t +C = \sin ^{-1} \left( \ln x \right) + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt x \left(1+ \sqrt[3]{x} \right)}=\left[x\equiv t^6\right] = \int \frac {6 t^5 dt} {t^3 ( 1 + t^2 )}dt=6\int \left(1 - \frac{1}{1+t^2} \right)dt =$

$= 6t -6 \tan ^{-1} t + C =_{t=\sqrt[6]{x}} 6\sqrt[6]{x} -6 \tan ^{-1} \sqrt[6]{x} + C$

$\int \frac {dx}{sinx} =\left[\begin{matrix} x\equiv \tan \frac{x}{2} \\ dx=\frac{2}{1+t^2} \\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\end{matrix}\right] = \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac {2} {1+t^2} dt= \int \frac {dt}{t} = \ln \left| t \right| + C =_{t= \tan \frac {x}{2}} \ln \left|\tan \frac {x}{2}\right| + C$

[עריכה] הצבות טריגונומטריות

באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה בכדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אע"פ שהאינטגרנד עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור $a\,$ קבוע חיובי ו- $b\ge 0$ שלם:

עבור $\int x^{2b}\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\sin t \,$
עבור $\int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\tan t \,$
עבור $\int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=\frac{a}{\sin t} \,$

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:

$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \left[ \begin{matrix} x\equiv \sin t \\ dx = \cos t dt \\ t = \arcsin x\end{matrix}\right] = \int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t\,dt = \int \cos t\sqrt{\cos^2 t},dt = \int \cos^2 t\,dt$

הערה: בהמשך החישוב נעזר בשוויון $\sqrt{\cos^2 t} = \cos t$ שהוא לא נכון עבור כל $t\,$ , לכן לכל $\cos t\,$ שנמצא לאחר ההצבה, נחליפו שוב ב- $\sqrt{\cos^2 t}$ .

$\int \cos^2 t\,dt = \frac{1}{2} \int (\cos 2t +1)\,dt = \frac{1}{4} \sin 2t + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \cos t}{2} + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{\cos^2 t} + t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{1-\sin^2 t} +t}{2}$

לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:

$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x}{2} + C$

הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג: $\tan {\frac{x}{2}} = t$ . ואז מתקיים:

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$
$dx = 2\frac{dt}{1+t^2}$

הצבה זו שימושית לאינטגרלים מהסוג $\int \frac{1}{\cos x}\,dx$ ו $\int \frac{1}{\sin x}\,dx$

[עריכה] הצבות היפרבוליות

בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור $a\,$ קבוע חיובי ו- $b\ge 0$ שלם:

עבור $\int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\sinh t \,$
עבור $\int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\cosh t \,$

זאת בשל הנוסחה היסודית $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,$

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חישוב אורך קשת של הפרבולה $y = x^2\,$ :

$\int \sqrt{1+{(x^2)'}^2}\,dx = \int \sqrt{1+{(2x)}^2}\,dx = \int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \left[ \begin{matrix} x\equiv \frac{1}{2}\sinh t \\ dx = \frac{1}{2}\cosh t dt \\ t = {\sinh}^{-1} {2x}\end{matrix}\right]$
$= \int \sqrt{1+\sinh^2 t}\cdot \frac{1}{2}\cosh t\,dt = \frac{1}{2}\int \cosh t\sqrt{\cosh^2 t},dt = \frac{1}{2}\int \cosh^2 t\,dt$

$\frac{1}{2}\int \cosh^2 t\,dt = \frac{1}{4} \int (\cosh 2t +1)\,dt = \frac{1}{8} \sinh 2t + \frac{t}{4}$
$= \frac{\sinh t \cosh t}{4} + \frac{t}{4} = \frac{\sinh t \sqrt{\cosh^2 t} + t}{4} = \frac{\sinh t \sqrt{1+\sinh^2 t} +t}{4}$