Casus irreducibilis

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában (közelebbről az algebrában) casus irreducibilisnek nevezzük azt az esetet, amikor egy olyan valós együtthatós harmadfokú polinom gyökeit kívánjuk kiszámítani, melynek három különböző valós gyöke van.

[szerkesztés] Az irreducibilitás látszata

Egy ilyen harmadfokú polinom természetesen a valós számok teste fölött is felbontható elsőfokúak szorzatára, azaz, ha x₁, x₂, x₃ a három gyök és a a harmadfokú tag együtthatója, akkor a polinom

$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\,$

alakú lesz. A gyököket a harmadfokú egyenlet megoldóképletével, a Cardano-képlettel kaphatjuk meg. Ám, pont ebben a tipikusnak mondható esetben fordul elő az, hogy a megoldóképletben szereplő négyzetgyök alatt negatív szám áll. Amennyiben ragaszkodunk ahhoz, hogy az általános eljárást kívánjuk folytatni, és a képlet alapján határozzuk meg a gyököket, nincs más út, minthogy a számítást komplex mennyiségekkel végezzük el. Eredményünk szükségképpen az lesz, hogy az összes gyök valós, annak ellenére, hogy ehhez az eredményhez a komplex számokon keresztül jutottunk. A polinom tehát fölbontható (reducibilis), de a fölbontás elvégzéséhez nem elegendőek a valós műveletek.

[szerkesztés] Példa

Tekintsük a

$p(x)=x^3-x\,$

polinomot. Nyilvánvaló, hogy p(x)-nek három valós gyöke van, hisz x-et kiemelve:

$p(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\,$

azaz x₁ = 0, x₂ = 1 és x₃ = -1.

A Cardano-képlet levezetésekor végzett eljárás a következő: x-re a Vieta-féle helyettesítést alkalmazzuk:

$x=u+\frac{1}{3u}$

Tehát:

$p(x)=\left(u+\frac{1}{3u}\right)^3-\left(u+\frac{1}{3u}\right)=$

$=u^3+3u^2\frac{1}{3u}+3u\left(\frac{1}{3u}\right)^2+\left(\frac{1}{3u}\right)^3-u-\frac{1}{3u}=u^3+\frac{1}{27u^3}$

A p(x)=0 átrendezhető egy u³-ben másodfokú egyenletté:

$(u^3)^2+\frac{1}{27}=0\,$

1/27-et az egyenletből kivonva látható, hogy nem kapunk u³-re valós(!) megoldást. Ezen a ponton a XVI. század matematikusai észrevették, hogy (a kor szinvonalán nem megmagyarázható módon) eredményre vezet, ha egyfajta szimbolikus köbgyök és négyzetgyökvonással folytatják a metódust:

$(u^3)^2=-\frac{1}{27}$

$u^2=-\frac{1}{3}$

$u=\pm\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}$

Innen x:

$x=u+\frac{1}{3u}=\frac{3u^2+1}{3u}=\frac{3(\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{-1+1}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{0}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=0$

ahonnan az x = 0 valós megoldás megkaptuk. Ezután polinomosztással nyerhető a többi gyök is.

A megoldásban szereplő

$\sqrt{-1}$

szimbólum az imaginárius egység, mellyel a műveletek elvégzése során lényegében ugyanúgy számolhatunk, mint egy meghatározatlan értékű paraméterrel, melynek különös tulajdonsága, hogy négyzete -1.

Kevésbé triviális esetben bizonytalanná tehet bennünket, hogy tudjuk, a harmadfokú egyenletnek mindig van valós gyöke, megtalálása azonban nem valós számokkal történő számítások útján történik. A komplex számok matematikájának szigorú kifejtése után azonban az elmélet konzisztenciájában nem kételkedhetünk (legfeljebb annyira, amennyire a matematika ellentmondásmentességében is).

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../c/a/s/Casus_irreducibilis.html"

Kategória: Algebra

Casus irreducibilis

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Az irreducibilitás látszata

[szerkesztés] Példa

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken