Fundamentális csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A fundamentális csoport egy matematikai, azon belül algebrai topológiai fogalom. Egy topologikus tér valamennyi pontjához hozzárendelhető a fundamentális csoport, amely a pontot tartalmazó komponens 1 dimenziós szerkezetét írja le. A fundamentális csoport az első homotópia csoport.

[szerkesztés] Szemléltetés

Tekintsünk egy teret, és azokat az utakat, amelyek egy rögzített pontból indulnak, és visszatérnek oda. Két ilyen utat egymás után lehet fűzni, azaz először az egyiket járjuk végig, utána a másikat. Egy utat visszafelé is végigjárhatunk. Ezekre az utakra úgy is tekinthetünk, mintha cérnából lennének, ekkor két utat azonosnak tekintünk, ha az egyik cérnát át lehet mozdítani a téren belül a másik helyzetébe. Például a síkon minden ilyen út behúzható teljesen az origóba, majd vissza egy másikba. Viszont ha kilyukasztjuk a síkot az origóban, és a cérna megkerüli azt a lyukat, akkor ezt a hurkot nem lehet behúzni, tehát nem lesz azonos az egy helyben maradó úttal (ahol nem mozdulunk el az út során a kezdőpontból).

[szerkesztés] Definíció

Legyen $X$ egy topologikus tér, és $x 0$ egy pontja. Egy $f:[0,1]\to X$ folytonos leképezést $x 0$ kezdőpontú huroknak nevezünk, ha $f (0) = f (1) = x 0$ . Két ilyen hurkot, jelölje őket $f$ és $g$ , azonosnak tekintünk, ha létezik egy $h:[0,1]\times [0,1]\to X$ folytonos leképezés, amelyre fennállnak a következők: $h (t,0) = f (t)$ , $h (t,1) = g (t)$ , $h (0, t) = h (1, t) = x 0$ , ahol $t$ tetszőleges pontja a $[0,1]$ intervallumnak. Ezt a $h$ leképezést homotópiának hívjuk, az $f$ és $g$ függvények homotopikusan ekvivalensek, és egy homotópia osztályhoz tartoznak. A fundamentális csoport elemei ezek a homotópia osztályok.

Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, értelmeznünk kell a csoportműveleteket: a szorzást, az egységet és az inverzet. Legyen $f$ és $g$ két reprezentánsa két homotópia osztáynak. Ekkor $(f * g)(t) = f (2 t)$ , ha $t\in[0,1/2]$ , és $(f * g)(t) = g (2 t - 1)$ , ha $t\in[1/2,1]$ lesz a szorzatuk egy reprezentánsa. Az inverz és az egység definíciója egyszerűbb: $f - 1 (t) = f (1 - t)$ , és $i (t) = x 0$ az egység.

A fundamentális csoportot $π 1 (X, x 0)$ -lal jelöljük. Amennyiben a topologikus tér útszerűen összefüggő, minden pontjában azonos a fundamentális csoport, ekkor $π(X)$ -szel jelóljük.

[szerkesztés] Példák

$\mathbf{R}^n$ (vagy tetszőleges konvex részhalmazának) fundamentális csoportja triviális, azaz minden hurok homotopikusan ekvivalens az egységelemmel: a $h(t, s)={f(t)\over s}$ „összehúzza” az $f$ hurkot a $0$ -ba. Az ilyen tereket, ahol a fundamentális csoport triviális, egyszeresen összefüggőnek hívjuk.
$S 1$ , azaz a kör fundamentális csoportja $\textbf{Z}$ , azaz az egész számok csoportja az összeadásra nézve. Ugyanis bármely $k$ egész számhoz elkészíthető a körön $k$ -szor körbefutó hurok, értelemszerűen $0$ -hoz a konstans függvényt rendelve, negatív számokhoz pedig azt a hurkot rendelve, ami annyiszor „visszafelé” futja be a kört.
$\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0\}$ , azaz az origóban kilyukasztott sík fundamentális csoportja úgyszintén a kör, ugyanis az a paraméter, hogy milyen távol van egy pont az origótól, itt nem érdekes, csak a szög számít. Szemléletesen úgy gondolhatunk rá, hogy képzeljük el, mit láthat valaki az origóból nézve az útból. Ilyenkor csupán annyit lát, hogy milyen szögben áll egy pont a pozitív tengelyhez viszonyítva, a távolságot nem. Tehát az egész síkból pontosan azt látja, mintha egy origó középpontú kör volna. Az ilyen jellegű azonosságokat, mint a lyukas sík és a kör között, homotopikus ekvivalenciának hívjuk.
Nem minden fundamentális csoport kommutatív: egy gráf mint topologikus tér (CW-komplexus) fundamentális csoportja mindig szabad csoport.