Gauss-lemma

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

[szerkesztés] A lemma állítása

Nevezzünk egy egész együtthatós polinomot primitívnek, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1. Ekkor primitív polinomok szorzata is primitív.

[szerkesztés] A lemma bizonyítása

Indirekt okoskodással tegyük fel, hogy a primitív $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ és $g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m$ polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

$h(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n+m}x^{n+m}$

ahol

$c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_kb_0.$

Van tehát olyan $p$ prímszám, ami minden $c k$ -nak osztója. Legyen $k$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $a k$ -nak és hasonlóan legyen $l$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $b l$ -nek. Ekkor a $c k + l$ azon $a i b j$ tagok összege, amikre $i + j = k + l$ teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható

p

-vel, amiben

i < k

minden tag osztható

p

-vel, amiben

j < l

a fennmaradó egyetlen tag,

a k b l

viszont nem osztható

p

-vel.

Tehát $c k + l$ nem osztható $p$ -vel, ellentmondás.

[szerkesztés] Alkalmazás

Ha a

H (x)

egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós

f (x)

és

g (x)

polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós

F (x)

és

G (x)

polinomok szorzatára is felbontható, ahol

F (x)

fokszáma megegyezik

f (x)

-ével,

G (x)

fokszáma pedig

g (x)

-ével.

Valóban, legyen $a$ és $A$ az $f (x)$ polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse, hasonlóan $b$ és $B$ a $g (x)$ polinom együtthatói számlálói legnagyobb közös osztója, illetve legkisebb közös többszöröse. Ekkor $f(x)=\frac{a}{A}F(x)$ és $g(x)=\frac{b}{B}G(x)$ , ahol $F (x)$ , $G (x)$ primitív polinomok. Továbbá $(a, A) = (b, B) = 1$ .

Amit tudunk még, az

$\frac{a}{A}F(x)\frac{b}{B}G(x)=H(x).$

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy $(a, B) = (A, b) = 1$ , hiszen, ha például $a$ -nak és $B$ -nek lenne egy $d > 1$ közös osztója, akkor $a$ -t és $B$ -t $d$ -vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy $(a b, A B) = 1$ . Felszorozva

$ab\cdot F(x)G(x)=AB\cdot H(x)$

adódik. Mivel $H (x)$ egész együtthatós, $A B$ osztja a baloldali polinom minden együtthatóját. De $(a b, A B) = 1$ , ezért $A B$ osztja $F (x) G (x)$ minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha $A B = 1$ , azaz $A = B = 1$ . Ezzel készen vagyunk, hiszen $aF(X)\cdot bG(x)$ a $H (x)$ felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.