Súlypont

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A háromszög súlypontja

Ez a szócikk a súlypont mértani értelmezéséről szól. A fizikai értelmezéshez lásd a tömegközéppont szócikket!

A geometriában síkban egy síkidom súlypontján a síkidomot egyenlő területű részre osztó egyenesek metszéspontját nevezzük. N-dimenziós esetre általánosítva: az $X$ test súlypontjának azon hipersíkok metszéspontját nevezzük, amelyek $X$ -et egyforma nyomatékú részre osztják a hipersíkban. Egyszerűbben megfogalmazva, $X$ összes pontjának „átlaga”.

Egy fizikai test mértani középpontja egybeesik a tömegközéppontjával, ha a test állandó sűrűségű, vagy ha a test sűrűségeloszlása szimmetrikus a mértani középpontra. Ezek elégséges, de nem szükséges feltételek.

[szerkesztés] A háromszög és a tetraéder súlypontja

A háromszög súlypontja a súlyvonalak (a csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjával összekötő vonalak) metszéspontja. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól távolabb van. Ahogy a jobb oldali ábra mutatja, a súlypont az oldal és a szemközti csúcs közötti merőleges távolság 1/3-ánál található.

A súlypont megegyezik a háromszög tömegközéppontjával, ha a háromszöglap állandó sűrűségű anyagból készült. A súlypont koordinátái Descertes-féle derékszögű koordinátarendszerben a csúcspontok koordinátáinak számtani közepével egyezik meg.

Hasonló a helyzet a tetraédernél: ennek súlypontja a csúcspontokat a szemközti oldallap súlypontjával összekötő szakaszok metszéspontjában van. Ezeket a szakaszokat a súlypont 3:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól messzebb esik. Ezt az eredményt könnyen lehet általánosítani $n$ -dimenziós szimplexekre.

[szerkesztés] Kúpok és gúlák súlypontja

A kúpok és a gúlák súlypontja a csúcsot az alap súlypontjával összekötő szakaszon van, 3:1 arányban osztja azt, úgy hogy a csúcstól távolabb esik a súlypont.

[szerkesztés] Súlypont és konvexitás

Egy konvex test súlypontja mindig a testen belül található. Ez a konkáv objektumokra nem minden esetben igaz; például egy gyűrű, vagy egy vödör súlypontja a test középső, üres részében található.

[szerkesztés] A súlypont definíciója integrállal

Egy síkidom súlypontjának abszcisszáját az alábbi képlettel lehet kiszámolni: $\frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}$ , ahol $f (x)$ az idom függöleges mérete $x$ -nál. Ezt az összefüggés a terület y tengelyre vett elsőrendű nyomatékából vezethető le.

Ugyanez az összefüggés írható le egy $\R^n$ dimenziós térben lévő objektum súlypontjának bármelyik $n$ dimenziójára, feltéve, hogy $f (x)$ az objektum keresztmetszetének $(n - 1)$ -dimenziós mérete az $x$ koordinátánál.

Megjegyezzük, hogy a nevező egyszerűen az objektum $n$ -dimenziós mértéke. Abban a speciális esetben, ha f normalizált, vagyis a nevező 1, a súlypont f közepe.

A képlet nem alkalmazható, ha az objektum mértéke zéró, vagy bármelyik integrál divergál.

Ha az objektum rendelkezik egy vagy több szimmetria-tengellyel, a súlypont mindig a szimmetria-tengelyre esik.

[szerkesztés] Lásd még

Pappus-Guldin tétel

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Háromszög súlypontja Írta: Antonio Gutierrez a Geometria lépésről-lépésre az inkák földjén-ből.
A súlypont tulajdonságai cut-the-knot

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../s/%C3%BA/l/S%C3%BAlypont.html"

Kategória: Geometria

Súlypont

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A háromszög és a tetraéder súlypontja

[szerkesztés] Kúpok és gúlák súlypontja

[szerkesztés] Súlypont és konvexitás

[szerkesztés] A súlypont definíciója integrállal

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken