Szabályos zárójelezés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.
Az ezen a lapon látható jelölés 2006 novemberéből származik.

Szabályos zárójelezésnek nevezzük egy A tartóhalmazú és legfeljebb kétváltozós műveletekkel rendelkező matematikai struktúra betűkifejezéseinek zárójelekkel való olyan bővítését, zárójelezését; amely – „értelmesnek” mondható, azaz a kapott kifejezés megfelel a konvencionális ill. az algebrai struktúrából következő előírásoknak és kiértékelhető, amennyiben az eredeti kifejezés is az volt, azaz változóinak helyébe tetszőleges A-beli elemeket helyettesítve, a kifejezés értéke egy A-beli elem lesz. Mindez természetesen nem matematikai definíció ^[1]; a precíz definíciót ld. lentebb.

Tartalomjegyzék

1 Alapfeltevések
2 Az értelmes zárójelezés kritériumai
3 A szabályossági kritériumok formalizált változata
4 Hivatkozások
- 4.1 Jegyzetek
- 4.2 Források

[szerkesztés] Alapfeltevések

A továbbiakban feltesszük:

A matematikában tradicionálisan uralkodó ún. infix műveleti szintaktikát használjuk. Más szintaktikát használva egyes lentebbi eredmények vagy értelemszerű módosításokat igényelnek, vagy egyenesen értelmetlenné válnak, pl. az ún. „lengyel szintaktika” nem is igényli a zárójeleket.
a kifejezésekben szereplő egyes zárójeleket, ha szükséges, indexekkel látjuk el, a kerek, szögletes, kapcsos stb. zárójelformák megkülönböztetése helyett. Tehát „csak kerek zárójeleket ismerünk el”, hiszen felesleges bonyodalmakat okozna, hogy háromnál több zárójelpár esetén mindig új és új karaktereket kellene használni, illetve hogy a matematikailag semmiféle jelentős szerepkülönbséget nem képviselő – legalábbis jelen definícióban semmiféle releváns különbséget nem adó– zárójeltípusokat ok nélkül megkülönböztessünk.
Feltesszük, hogy a zárójelek maguk nem elemei A-nak, vagyis nem lehetnek műveleti argumentumok.
ha mást nem mondunk, a szimbólumsorozatokat balról jobbra olvassuk ki (tehát „első” := „balról az első”).

[szerkesztés] Az értelmes zárójelezés kritériumai

Egy értelmes zárójelezésnek a következő követelményeket kell teljesítenie:

A zárójelekre vonatkozó szintaktikai szabály (amelyet talán röviden „nincszippzár-kritériumnak” nevezhetnénk) teljesítése: a zárójelek párosíthatóak legyenek úgy, hogy minden párban legyen egy összetartozó "(" kezdő- és egy ")" végzárójel. Pl. ne legyenek (a+(a-b))) alakú kifejezéseink, ahol a legutolsó ")" végzárójel „nincs kinyitva”, vagyis a kifejezésnek csak a zárójeleit tekintve, ne lehessenek "(()))" alakú „szabálytalan” zárójelsorozataink. Az ezt a kritériumot teljesítő zárójelsorozatokat szabályos zárójelsorozatnak fogjuk nevezni.
A műveletek szintaktikájának betartása: még ha egy kifejezéshez szabályos zárójelsorozatot is rendelhetünk, maga a kifejezés akkor is értelmetlenül lehet zárójelezve; azaz a szabályos zárójelsorozattal ellátott kifejezés még nem biztosan szabályos zárójelezés. Példa erre mondjuk az a,b,c,d egész számokon értelmezett: (a(+b-c)-d), amely kifejezés zárójelsorozata: "(())" teljesen szabályos, de a + műveletnek a zárójelezés miatt hiányzik az első argumentuma (avagy a „)” argumentumon hatna, ami a 3. alapfeltevés miatt tilos); noha zárójelek nélkül az eredeti kifejezés még „értelmes” volt: a+b-c-d.
Zárójelfölösleg. Kérdéses, „értelmesnek” minősíthetünk-e fölösleges zárójelezéseket tartalmazó kifejezéseket, mint pl. a+((b-c)). E kifejezés teljesíti mindkét előző kritériumot, mégis a matematika egyik alapparadigmájára, a minél teljesebb egyszerűsítésre hivatkozva vitatható, hogy szabályos-e. Jelen lentebbi definíció szerint az ilyen kifejezések igenis „értelmesnek” számítanak, azon indokokkal, hogy 1). az ilyen kifejezések kizárása fölöslegesen bonyolítaná a definíciót, ráadásul e kifejezések „kiértékelhetőek”; 2). algebrai átalakítások, behelyettesítések során esetleg előállhatnak ilyen kifejezések. Pl. helyettesítsünk az egészek fölötti (a+b)-c kifejezésben az „a” helyébe (x+y)-b-t, ekkor adódik ((x+y)-b+b)-c = ((x+y)+0)-c = ((x+y))-c. A zárójelfölösleget nem tartalmazó értelmes kifejezésekre más szakterminológiát lehet bevezetni („redukált szabályos zárójelezés” vagy „normál”, esetleg „kanonikus zárójelezés” stb.).

[szerkesztés] A szabályossági kritériumok formalizált változata

Legyen S := (A,M) [[matematikai struktúra, ahol A tetszőleges halmaz, mely nem tartalmazza a "(" és ")" elemeket (a kezdő- és végzárójelet), M pedig az A feletti egy- vagy kétváltozós műveletek egy halmaza vagy rendszere. Legyen továbbá X={x₁, x₂, ..., x_n, ...} egy legalább megszámlálható halmaz, az A feletti változók egy halmaza. Jelölje Q_S az A, az M és az X elemeiből, (pontosabban, az azokat jelölő szimbólumokból), valamint a két zárójelkarakterből képezett összes véges sorozat halmazát (azaz, $Q_{S} \ := \ \left( A \cup M \cup X \cup \left\{ (, ) \right\} \right)^{ \cup_{k=1}^{\infty} \mathbb{N}_{k}}$ , ahol $k \in \mathbb{N}^{+}$ és $\mathbb{N}_{1} \ := \ \left\{ 1 \right\} , \mathbb{N}_{k+1} \ := \ \mathbb{N}_{k} \cup \left\{ k+1 \right\}$ ^[2]), minden q∈Q_S elemhez rendeljük hozzá a z(q) „zárójelsorozatát”, vagyis azt a véges részsorozatát, amely pontosan a q-ban található zárójeleket tartalmazza! Az első szabályossági kritérium ezáltal így fogalmazható meg:

Definíció: A q∈Q_A karaktersorozat z(q) zárójelsorozatát egy S feletti szabályos zárójelsorozatnak mondjuk, ha a z(q) sorozatbanj 1). ugyanannyi a kezdő- mint a végzárójelek száma; 2). z(g) minden ún. kezdőszeletében (az n-edik kezdőszelete az első n elemét tartalmazó részsorozata) legalább annyi a kezdő-, mint a végzárójelek száma.

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Jegyzetek

^ A fenti bekezdés nemcsak azért nem „definíció”, mivel nem formális jelölésrendszert és matematikai fogalmakat használ; de azért sem, mivel az „értelmes”, a „szabályos”, a „kiértékelhető” stb. kifejezések egymást magyarázzák, kizárólag a bonyolult és többlépcsős precíz és formális definíció alátámasztásának, az egész definíció és annak részletei szükségességének és összefüggéseinek magyarázatául szolgálnak. A precíz definíció nem egyszerű, mivel több független követelményre kell tekintettel lenni és néhány vitás kérdés is felmerül. Ráadásul - mint a legtöbb szintaktikai szabály esetében - a szintaktikus „értelmesség” nem valam előre meghatározott abszolútumot jelöl, hanem javarészt megállapodás kérdése, így önmagában az „értelmesség” követelményéből nem vezethető le a formális definíció minden eleme (noha e cikk didaktikai követelmények szem előtt tartása miatt esetleg ezt a látszatot keltheti), hanem a formális definíció szabja meg, mit jelentsen az értelmesség.
^ Vagyis, N_k = {1,2,...,k}.