Stærðfræðileg rökfræði

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Stærðfræðileg rökfræði er grein innan stærðfræðinnar annarsvegar, og undirgrein af rökfræði hinsvegar, sem snýr að tvennu:

Að meta sannleiksgildi eða hrekjanleika stærðfræðilegra fullyrðinga út frá formi þeirra og uppbyggingu. Sjá sönnunartækni.
Formleg rökfræði sett fram með táknmáli rökfræðinnar. Þetta er einnig kallað táknleg rökfræði, en hún var upprunalega þróuð út frá táknmáli stærðfræðinnar.

[breyta] Saga

Stærðfræðileg rökfræði á rætur sínar að rekja til nokkurra stærðfræðinga og heimspekinga sem töldu þörf á aðferð til þess að lýsa rökyrðingum á stærðfræðilegan máta og þörf á heilsteyptu kerfi til þess að sýna fram á sannleiksgildi stærðfræðilegra fullyrðinga. Fremstan í flokki má nefna Gottlob Frege sem er gjarnan nefndur faðir nútímarökfræði.

Bertrand Russell og Alfred North Whitehead skrifuðu bókina Principia Mathematica í þremur bindum á árunum 1910—1913. Í því riti leituðust þeir eftir því að skilgreina þekkta stærðfræði út frá forsendum stærðfræðilegrar rökfræði.

[breyta] Rökyrðingar

Rökyrðingar eru kjarninn í rökfræði. Hægt er að rita rökyrðingar með ýmsum hætti, svo sem:

Himinninn er blár
2+2 = 4
Það er kalt úti
Jón er með hatt

Dæmi um setningar sem eru ekki yrðingar eru:

Er himinninn blár?
Fáðu þér sæti
2+2

Í stærðfræðilegri rökfræði eru setningar gjarnan kenndar við breytistærð, til dæmis bókstafi.

[breyta] Röktákn

Táknræn rökfræði byggist á táknum í stað orða þar sem hægt er. Þetta er gert til þess að draga úr allri tvíræðni. Gerum ráð fyrir að P og Q séu rökyrðingar. Gerum ráð fyrir að R(x) sé umsagnarökfræðileg rökyrðing. Gerum þá ráð fyrir því að x sé breyta.

Tákn	Merking	Dæmi um notkun
$\and$	og	$P \and Q$ (P og Q)
$\or$	eða	$P \or Q$ (P eða Q)
$\neg$	ekki	$\neg P$ (ekki P)
$\Rightarrow$	afleiðing	$P \Rightarrow Q$ (ef P þá Q)
$\iff$	þá og því aðeins að	$P \iff Q$ (ef P þá Q, og öfugt)
$\exists$	tilvist	$\exist x R(x)$ (til er x þannig að R(x) gildi)
$\forall$	algildi	$\forall x R(x)$ (um öll x gildir R(x))