Equazione di Papperitz-Riemann

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Tra le equazioni differenziali del secondo ordine, un ruolo particolarmente importante lo ricopre la cosiddetta Equazione di Papperitz-Riemann, che rappresenta la più generale equazione totalmente fuchsiana con tre punti fuchsiani (o regolari). Questo perché moltissime delle equazioni che s’incontrano nella fisica matematica sono equazioni di questo tipo o sono riconducibili a una equazione ipergeometrica confluente e gran parte delle funzioni speciali sono soluzioni di queste equazioni.
Le equazioni con uno o due punti fuchsiani sono completamente risolvibili in termini di funzioni elementari e rivestono scarso interesse.
D’altra parte invece le funzioni con quattro punti fuchsiani s’incontrano di rado e non si conosce una teoria generale per la loro risoluzione, teoria che esiste invece per quelle di Papperitz-Riemann. Queste equazioni sono state studiate estremamente a fondo e le loro soluzioni costituiscono sostanzialmente la vastissima classe delle cosiddette funzioni ipergeometriche; l'accennata forma confluente, studiata altrettanto a fondo, dà poi origine alla classe delle funzioni ipergeometriche confluenti.
Andiamo dunque a studiare la più generale equazione differenziale del secondo ordine con esattamente tre punti regolari : siano $ξ 1,ξ 2,ξ 3$ i tre punti fuchsiani e

siano i $(α 1,β 1),(α 2,β 2),(α 3,β 3)$ i rispettivi esponenti delle soluzioni (determinati dalle radici dell'equazione indiciale relativa). Scrivendo l'equazione in forma standard :

$\frac{d^2 u}{dz^2} + p(x) \frac{du}{dz} + q(z)u= 0 \qquad (1)$ ,

i coefficienti p(z) e q(z) avranno la forma:

$\left\{\begin{matrix} p(z)=\frac{P(z)}{(z-\xi_1)(z-\xi_2)(z-\xi_3)} \\ q(z)=\frac{Q(z)}{(z-\xi_1)^2(z-\xi_2)^2(z-\xi_3)^2}\end{matrix}\right. \qquad (2)$

con P(z) e Q(z) funzioni intere.
È da notare che, poiché il punto all'infinito deve,per ipotesi essere ordinario P(z) e Q(z) dovranno essere necessariamente polinomi di secondo grado che potermmo scrivere nella forma:

$\left\{\begin{matrix} P(z)=A_1(z-\xi_2)(z-\xi_3)+A_2(z-\xi_3)(z-\xi_1)+A_3(z-\xi_1)(z-\xi_2) \\ Q(z)=B_1(z-\xi_2)(z-\xi_3) + B_2(z-\xi_3)(z-\xi_1)+ B_3(z-\xi_1)(z-\xi_2) \end{matrix} \right. \qquad (3)$

Con la condizione che $A_1+A_2+A_3 = 2 \qquad (4)$

La (2) diventera quindi :

$\left\{\begin{matrix} p(z)=\frac{A_1}{z-\xi_1}+\frac{A_2)}{z-\xi_2}+\frac{A_3}{z-\xi_3} \\ q(z)=\frac{1)}{(z-\xi_1)(z-\xi_2)(z-\xi_3)} \left\{\frac{B_1)}{(z-\xi_1)}+\frac{B_2)}{(z-\xi_2)}+\frac{B_3)}{(z-\xi_3)}\right\} \end{matrix} \right. \qquad (5)$

si può quindi scrivere l'equazione indiciale relativa al punto $ξ i$ con i=1,2,3 si può facilmente ricavare gli esponenti della soluzione che avevamo chiamato $(α i,β i)$ con i=1,2,3. Avremmo quindi :

$\left\{\begin{matrix} A_i = 1-\alpha_i-\beta_i \\ B_i = \alpha_i\beta_i(\xi_i - \xi_k)(\xi_i - \xi_l) \end{matrix}\right. \quad i,k,l=1,2,3 ; i\ne k\ne l \qquad (6)$

Inoltre la condizione (4) impone una restrizione sulla scelta dei possibili esponenti, fissa cioè :

$\sum_{i=1}^3(\alpha_i+\beta_i)=1$

La (1) assume la forma :

$\frac{d^2u}{dz^2} + \left\{\sum_{i=1}^3 \frac{1-\alpha_i-\beta_i}{(z-\xi_i)} \right\}\frac{du}{dz} - \frac{(\xi_1-\xi_2)(\xi_2-\xi_3)(\xi_3-\xi_1)}{(z-\xi_1)(z-\xi_2)(z-\xi_3)}\left\{\frac{\alpha_1\beta_1}{(z-\xi_1)(\xi_2-\xi_3)}+ \frac {\alpha_2\beta_2}{(z-\xi_2)(\xi_3-\xi_1)} + \frac {\alpha_3\beta_3}{(z-\xi_3)(\xi_1-\xi_2)} \right\} u = 0 \qquad (7)$ .

che è l' equazione di Papperitz-Riemann. Per dire che u è soluzione dell'equazione (7) è d'uso introdurre il Simbolo P di Riemann scrivendo :

$u= P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix}$

[modifica] Bibliografia

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover
- Chapter 15 Hypergeometric Functions
  - Section 15.6 Riemann's Differential Equation
Francesco Tricomi (1953) Equazioni differenziali, II ed., Einaudi, par.46

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Categorie: Equazioni differenziali | Funzioni speciali

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