Simbolo P di Riemann

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Il simbolo P di Riemann è stato introdotto per rappresentare in modo semplice e immediato le soluzioni dell'equazione di Papperitz-Riemann, in quanto risulta molto comodo da maneggiare, possiede semplici proprietà di trasformazione e permette di ricostruire la soluzione nella sua forma esplicita in qualunque momento. Questo simbolo viene utilizzato per varie formule riguardanti funzioni speciali.

Se abbiamo una equazione di Papperitz-Riemann avente $\xi_1,\ \xi_2,\ \xi_3$ come punti fuchsiani e se $(α 1,β 1),(α 2,β 2),(α 3,β 3)$ sono i rispettivi esponenti delle soluzioni, la corrispondente P di Riemann sarà data da :

$u= P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} \qquad (1)$

Nel simbolo quindi compaiono i punti singolari nella prima linea e i relativi esponenti della soluzione al di sotto di essi; nella quarta colonna compare la variabile che si considera come indipendente.

È opportuno notare che esso indica una qualsiasi soluzione dell'equazione differenziale data; equivalentemente esso potrebbe essere interpretato come l'insieme di tutte le soluzioni. Per esempio, per dire che u(z) è una soluzione dell'equazione di Legendre

$(z^2-1)\frac{d^2u(z)}{dz^2}+ 2z\frac{du(z)}{dz} - \lambda(\lambda +1)u(z) =0 \qquad (2)$

che si vede avere tre punti regolari in $z= -1 , +1 ,\infty$ e per i corrispondenti esponenti i valori : $(0, 0)\, , (0, 0)\, , (-\lambda, \lambda+1)$ si potrà scrivere:

$u = P \begin{Bmatrix} -1 & +1 & \infty \\ 0 & 0 & -\lambda & z \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{Bmatrix} \qquad (3)$ .

In questa equazione il simbolo = si potrebbe sostituire con quello di appartenenza.

È importante che gli esponenti soddisfino alla restrizione :

$\sum_{i=1}^3(\alpha_i+\beta_i)=1 \qquad (4)$

così da assicurarci che l'equazione abbia solo tre punti singolari. Si può notare che uno dei punti fuchsiani è il punto all'infinito; ma questo non deve turbare, in quanto ogni punto mappato al finito può essere portato all'infinito tramite una semplice trasformazione conforme; viceversa, si può trasformare una equazione con un punto fuchsiano all'infinito in una con tutte le singolarità al finito; quindi tutta la teoria delle equazioni di Papperitz-Riemann per i punti al finito rimane ancora valida anche per le equazioni con un punto all'infinito.

[modifica] Proprietà del Simbolo P

Com’è già stato detto, il simbolo ‘’P di Riemann’’ gode di un certo numero di proprietà che si dimostrano assai utili per la ricerca pratica delle soluzioni di una [[Equazione di Papperitz Riemann]]. E’ immediato ad esempio notare che è invariante per permutazione delle prime tre colonne, dato che i tre punti singolari considerati sono tutti dello stesso tipo; così, per esempio,

$u= P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = P \begin{Bmatrix} \xi_2 & \xi_1 & \xi_3 \\ \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_3 & z \\ \beta_2 &\beta_1&\beta_3 \end{Bmatrix} \qquad (5)$

Altrettanto ovvio risulta notare che, siccome non c'è alcuna caratterizzazione particolare degli esponenti, gli $α i,β i$ possono essere invertiti ed avere dunque :

$u= P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \beta_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \alpha_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} \qquad (6)$

Oppure si può notare che la P di Riemann è invariante per la moltiplicazione di una costante fuori tutto, in quanto rappresentando una generica soluzione di un'equazione differnziale, che rimane definita a meno di una costante arbitraria.

$u= P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = K^a P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} \qquad (7)$

Un'altra proprietà, che risulta essere forse tra le più usate, è quella che dice che il Simbolo P di Riemann è invariante per trasformazioni omografiche del

tipo :

$z' = \frac {az+b}{cz+d} \qquad (8)$ con

a d - b c

$\ne 0$

Vale infatti la relazione :

$P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = P \begin{Bmatrix} \xi^*_1 & \xi^*_2 & \xi^*_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z' \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} \qquad (9)$

che ha la proprietà quindi di trasformare l’Equazione di Papperitz-Riemann in una analoga equazione in cui le posizioni dei punti singolari sono mutate in accordo con la (8), ma gli esponenti ad essi relativi rimangono invariati.

Analogamente alla (9) che ci permette di spostare i punti singolari di un'Equazione di Papperitz-Riemann lasciandone però invariati gli esponenti,quindi l'andamento della soluzione in un

intorno dei punti, vi è una proprietà che ci permette di lasciare invariati i punti singolari ma modificarne gli esponenti e quindi l'andamento della soluzione in un loro intorno . La più generale di queste trasformazioni può scriversi nella forma :

$P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = (z-\xi_1)^(\gamma_1)(z-\xi_2)^(\gamma_2)(z-\xi_3)^(\gamma_3) P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1-\gamma1 & \alpha_2-\gamma2 & \alpha_3-\gamma3 & z \\ \beta_1-\gamma1 &\beta_2-\gamma2 &\beta_3-\gamma3 \end{Bmatrix} \qquad (10)$

con $γ1γ2γ3$ costanti arbitrarie legate solamente all relazione :

$γ1 + γ2 + γ3 = 0$ , condizione necessaria per mantenere ancora valida la relazione (4)

Per finire è importante mettere un accento sul fatto che come caso particolare della (10) si ha :

$P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = \left(\frac {z-\xi_1}{z-\xi^2}^\gamma \right) P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \alpha_1-\gamma & \alpha_2-\gamma & \alpha_3-\gamma & z \\ \beta_1-\gamma &\beta_2-\gamma &\beta_3-\gamma \end{Bmatrix} \qquad (11)$

e se ad esempio il punto $ξ 3$ sia il punto all'infinito si ottiene che :

$P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \infty \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & z \\ \beta_1 &\beta_2&\beta_3 \end{Bmatrix} = (z-\xi_1)^\gamma P \begin{Bmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \infty \\ \alpha_1-\gamma & \alpha_2-\gamma & \alpha_3-\gamma & z \\ \beta_1-\gamma &\beta_2-\gamma &\beta_3-\gamma \end{Bmatrix} \qquad (12)$

poiché :

$(z-\xi_1)^\gamma \sim \left(\frac{1}{z}\right)^(-\gamma) \qquad se \; z\rightarrow \infty$

Come già accennato le proprietà (9) e (10) risultano particolarmente importanti nella risoluzione pratica di equazioni totalmente fuchsiane con tre punti fuchsiani poiché ci permettono di fissare sempre le singolarità nei punti più comodi alla risoluzione.

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Categorie: Equazioni differenziali | Funzioni speciali

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