Gamma di Dirac

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Equazione di Dirac
Matrice

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Fisica
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Le gamma o matrici di Dirac sono matrici 4×4 utilizzate all'interno dell'equazione di Dirac, una equazione scritta per portare il linguaggio della relatività einsteiniana nella meccanica quantistica. In effetti le scelte per le matrici da utilizzare sono varie, a patto che tali matrici rispettino alcune regole importanti. Prima di tutto devono seguire una regola di anticommutazione:

$\left \{ \gamma^\mu; \gamma^\nu \right \} = 2g^{\mu \nu} I$

quindi deve accadere che:

$\gamma^0 = \left ( \gamma^0 \right )^{+}, \gamma^i = - \left ( \gamma^i \right )^{+}$

γ 0 γ 0 = I,γ i γ i = - I

dove I è la matrice identità, ⁺ è il trasposto coniugato ed i un indice che va da 1 a 3.

La quaterna di γ più comunemente nota come gamma di Dirac è quella costruita a partire dalla matrice identità e dalle matrici di Pauli:

$\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ - \sigma^i & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

In questo modo l'equazione di Dirac diventa, semplicemente

$\left ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right ) \psi (x) = 0$

dove i è l'unità immaginaria, e

$\partial_\mu \equiv \frac {\partial}{\partial x^\mu}$

Da queste quattro matrici è possibile costruire 16 prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

$\Gamma^S = I; \Gamma^V = \gamma^\mu; \Gamma^T_{\mu \nu} = \sigma_{\mu \nu}; \Gamma^P = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \gamma^5; \Gamma^A = \gamma^5 \Gamma^V$

dove

$\sigma_{\mu \nu} = \frac {i}{2} \left [ \gamma_\mu , \gamma_\nu \right ]$

Queste Γ, oltre ad essere una base per lo spazio delle matrici 4×4, rispettano alcune regole:

$\left ( \Gamma^n \right )^2 = \pm 1$
$\Gamma^n \ne \Gamma^S, \exists \Gamma^m : \Gamma^n \Gamma^m = - \Gamma^m \Gamma^n$
$\Gamma^n \ne \Gamma^S, \operatorname {tr} \Gamma^n = 0$
$\Gamma^a, \Gamma^b, \exists \Gamma^n \ne \Gamma^S : \Gamma^a \Gamma^b = \Gamma^n$
$\mbox{se } \sum_{i=1}^16 a_i \Gamma^i = 0, \mbox{ allora } a_i = 0 \forall i$