Matrici di Pauli

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Le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca σ (sigma), esse possono anche essere indicate con τ (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Pauli e sono così definite:

$\sigma_1 \equiv \sigma_x \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 \equiv \sigma_y \equiv \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 \equiv \sigma_z \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Indice

1 Proprietà algebriche
- 1.1 SU (2)
2 Fisica
- 2.1 Rappresentazione dello spin semi-intero
- 2.2 Informazione quantistica
3 Voci correlate

[modifica] Proprietà algebriche

Detta $I$ la matrice identità, esse soddisfano alla seguente uguaglianza:

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

Inoltre verificano alle seguenti relazioni di commutazione ed anticommutazione:

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] & = & 2 i \epsilon^{ijk} \sigma_k\\ \{\sigma_i, \sigma_j\} & = & 2 \delta_{ij} I \end{matrix}$

dove $ε i j k$ è il simbolo di Levi-Civita, $δ i j$ è la delta di Kronecker. Le precedenti relazioni possono essere sinteticamente scritte come:

$\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot I$

Infine determinante e traccia sono dati da (i = 1,2,3):

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) & = & -1\\ \operatorname{tr} (\sigma_i) & = & 0 \end{matrix}$

Dalle relazioni precedenti si ricava semplicemente che gli autovalori delle tre matrici di Pauli sono ±1.

Le tre matrici, così definite, con l'aggiunta dell'identità, formano un insieme completo di matrici, ovvero una base dello spazio delle matrici 2×2:

A = c 0 I + c 1 σ 1 + c 2 σ 2 + c 3 σ 3

[modifica] SU (2)

Le matrici di Pauli moltiplicate per l'unità immaginaria $i$ generano, insieme all'identità, il gruppo SU(2), nonché la corrispondente algebra di Lie, che risulta essere isomorfa all'algebra di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni.

[modifica] Fisica

[modifica] Rappresentazione dello spin semi-intero

Essendo il gruppo SU(2) il rivestimento universale di SO(3) (il gruppo delle rotazioni nello spazio), si può applicare il risultato ottenuto da Bargmann nel suo sviluppo della teoria delle rappresentazioni proiettive:

Dato un gruppo di Lie $G$ ed il suo corrispondente gruppo coprente $G *$ , ogni rappresentazione proiettiva (unitaria) di $G *$ induce una rappresentazione proiettiva (unitaria) di $G$

Sia, quindi, $r = (\alpha_r, {\vec v}_r)$ , un elemento di SO(3), con $α r$ e ${\vec v}_r$ rispettivamente angolo ed asse di rotazione. Sia, inoltre, $R (r)$ una rappresentazione di $r$ in SU(2) per spin semi-intero:

$R(r) = \begin{pmatrix} \lambda_0 -i \lambda_z & -\lambda_y -i \lambda_x\\ \lambda_y -i \lambda_x & \lambda_0 +i \lambda_z \end{pmatrix}$

dove

$\lambda_0 = \cos \left ( \frac{1}{2}\,\alpha \right ), \quad \vec \lambda = \vec v \sin \left ( \frac{1}{2}\,\alpha \right )$

Si verifica che $R (r)$ è una rappresentazione proietiva di SU(2), e quindi di SO(3), con moltiplicatore ±1:

$R(r) R(s) = \pm R(rs)$

e quindi le matrici di Pauli possono essere utilizzate per descrivere l'osservabile spin per una particella fermionica.

[modifica] Informazione quantistica

In quantum information, single-qubit quantum gates are 2×2 unitary matrices. The Pauli matrices are some of the most important single-qubit operations. In that context, the Cartan decomposition given above is called the Z-Y decomposition of a single-qubit gate. Choosing a different Cartan pair gives a similar X-Y decomposition of a single-qubit gate.

[modifica] Voci correlate

Fisica
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