Insieme di generatori
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In matematica, e più precisamente in algebra, un sottoinsieme S di un insieme A dotato di una struttura algebrica è un insieme di generatori per A se tutti gli elementi di A possono essere ottenuti dagli elementi di S tramite combinazioni di operazioni definite su A.
Più in generale, se S è un sottoinsieme di A, l'insieme < S > generato da S è il più piccolo sottoinsieme di A chiuso rispetto alle operazioni definite su A
Nei casi più frequenti, A è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale. Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.
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[modifica] Gruppi
Sia G un gruppo e S un sottoinsieme di G. L'insieme < S > generato da S è il più piccolo sottogruppo di G che contiene S, e consiste in tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di S e dei loro inversi. Se S è l'insieme vuoto, < S > è definito come il sottogruppo banale {e}.
[modifica] Gruppo ciclico
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Per approfondire, vedi la voce gruppo ciclico. |
Quando S consta di un elemento solo x, < S > è scritto brevemente come < x > . In questo caso < x > è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di x.
In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.
[modifica] Gruppo finitamente generato
Un gruppo G è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.
- Ogni gruppo finito G è finitamente generato, poiché G stesso è un insieme di generatori.
- Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
- I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
- Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
- Il quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato.
[modifica] Spazi vettoriali
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Per approfondire, vedi la voce span lineare. |
Sia V uno spazio vettoriale e S un sottoinsieme. Il sottospazio vettoriale generato da S è chiamato span lineare, ed è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente S. La minima cardinalità di un insieme S di generatori per V è la dimensione di V.
