Lemma di Urysohn

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Il Lemma di Urysohn è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia: è spesso considerato il primo teorema della topologia generale avente una dimostrazione non banale.

[modifica] Enunciato

Il teorema afferma che uno spazio normale è completamente normale. In altre parole, se X è uno spazio normale,

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (A,B) di X, esiste una funzione continua

$f:X\to [0,1]$

a valori nell'intervallo I = [0,1], che valga 0 su tutto A e 1 su tutto B.

Informalmente, il teorema asserisce che in uno spazio normale gli insiemi chiusi possono essere "separati" tramite una funzione continua a valori in un intervallo reale.

[modifica] Dimostrazione

L'intersezione fra $\mathbb Q$ e l'intervallo [0,1], sia detta S={r₀, r₁,..., r_n,...}, è numerabile perché $\mathbb Q$ , insieme dei numeri razionali, lo è. Costruiremo una successione crescente, indicizzata da S, di aperti tra A e il complementare di B, che godrà di determinate proprietà. Posto innanzitutto r₀=0 e r₁=1, definisco per ogni numero naturale n l'insieme S_n = {r₀,...,r_n}, cosicché risulta che S è l'unione di tutti gli S_n.

Siccome A e B sono due chiusi disgiunti, allora A è un chiuso contenuto in quell'aperto che è il complementare di B: dunque, per la condizione equivalente alla normalità, esiste un aperto W che contiene A e la cui chiusura è contenuta nel complementare di B. Ponendo allora V(0):=W e V(1) uguale al complementare di B, si ha che: A⊆V(0)⊆ cl(V(0))⊆V(1). Ciò significa che per n=1, cioè per S₁, ho costruito una successione di aperti tale che:

(i)_n cl(V(r_i))⊆V(r_k) allorquando r_i<r_k, per ogni i,k<n;
(ii) A⊆V(0), V(1)=X\B.

Supponendo poi di aver definito una tale successione fino all'n-esimo elemento, è facile mostrare che allora si può costruirla anche fino all'elemento di indice n+1. Essendo S_n finito esistono infatti in esso due razionali, siano detti r_l e r_m, che sono più vicini a r_n+1 di qualunque altro in S_n, e tali che r_l<r_n+1<r_m. Ad essi sono associati due aperti, V(r_l) e V(r_m), tali che la chiusura del primo è contenuta nel secondo: per normalità, esiste un aperto W che contiene la chiusura di V(r_l) e la cui chiusura è contenuta in V(r_m). Ponendo V(r_n+1)=W, verifico facilmente che anche per S_n+1 sono verificate le proprietà (i)_n+1 e (ii). In definitiva, per il principio di induzione, essendo S numerabile, posso concludere che esiste una successione {V(r)}_r∈S, che soddisfa le proprietà (i) e (ii).

Posso considerare ora una funzione f così definita:

f(x)=1, se x appartiene a B;
f(x)=inf{r∈S|x∈V(r)}, se x appartiene a V(1), ossia non appartiene a B.

Tale funzione soddisfa i requisiti della definizione di completa normalità. Infatti, per le proprietà (i) e (ii), essa vale 1 su tutto B, mentre vale 0 su tutto A: essendo A incluso in V(0), e dunque in ogni altro aperto della successione {V(r)}_r∈S, l'estremo inferiore di quell'insieme è proprio 0.

Infine, la funzione f è continua: per vederlo è sufficiente mostrare che le sue controimmagini di aperti di base della topologia indotta di [0,1] (cioè di intervalli del tipo [0,a[ e ]b,1]) sono aperti:

se f(x)<a, allora inf{r∈S|x∈V(r)}<a, perciò

esiste un r<a in S tale che x non è contenuto in V(r), dunque esiste pure un r>a tale che x non è contenuto nella chiusura di V(r'). Pertanto l'antiimmagine tramite f di [0,a[ sarà l'unione, al variare di r' in S, degli aperti X\cl(V(r')), che è un aperto;

se invece f(x)>b, allora inf{r∈S|x∈V(r)}>b, perciò esiste un r>b tale che x è contenuto in V(r). Pertanto l'antiimmagine tramite f di ]b,1] sarà l'unione, al varriare di r in S degli aperti V(r), che è ovviamente un aperto.

In conclusione, se X è normale, allora per ogni coppia di chiusi disgiunti (A,B) esiste una funzione continua f che vale 0 su A e 1 su B, cioè X è completamente normale.