Podaria

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In geometria, la podaria di un curva rispetto ad un punto $P$ detto polo è il luogo geometrico formato dalle proiezioni di $P$ sulle rette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle normali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche antipodaria.

Indice

1 Equazione della podaria
2 Casi particolari
- 2.1 Podaria della circonferenza
- 2.2 Podaria della parabola
3 Voci correlate
4 Collegamenti esterni

[modifica] Equazione della podaria

Siano date le equazioni parametriche della curva $Γ$ :

$\left \{ \begin{matrix} x & = & f(t) \\ y & = & g(t), \end{matrix} \right.$

dove $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili su un intervallo $I \in \mathbb{R}$ . La tangente di $Γ$ nel suo punto $\left( f(t), g(t) \right)$ ha equazione

$y - g(t) = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime(t)} \left( x-f(t) \right).$

La proiezione di $P \left( x_0,y_0 \right)$ sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per $P$ :

$y - y_0 = - \frac{f^\prime (t)}{g^\prime(t)} \left( x-x_0 \right).$

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

$\left \{ \begin{matrix} x & = & \frac{x_0 f^{\prime 2}(t) + (y_0 - g(t)) f^\prime(t) g^\prime(t) + f(t) g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t) + g^{\prime 2}(t)} \\ y & = & \frac{g(t) f^{\prime 2}(t) + (x_0 - f(t)) g^\prime(t)f^\prime(t) + y_0 g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t) + g^{\prime 2}(t)}, \end{matrix} \right.$

[modifica] Casi particolari

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

[modifica] Podaria della circonferenza

Esempi di podaria della circonferenza con poli in differenti posizioni

La podaria di una circonferenza è la lumaca di Pascal.

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e centro nel punto $(1,0)$ , di equazioni parametriche:

$\left \{ \begin{matrix} x & = & 1 + \cos t \\ y & = & \sin t. \end{matrix} \right.$

Possiamo limitarci a considerare i poli $P (a,0)$ , posti sull'asse delle ascisse, con $a \leq 1$ . Le equazioni della podaria sono allora:

$\left \{ \begin{matrix} x & = & \cos t (1 + \cos t) + a \sin^2 t = a+ \cos t + (1-a) \cos^2 t\\ y & = & \sin t (1+ \cos t) - a \sin t \cos t = \sin t + (1-a) \sin t \cos t. \end{matrix} \right.$

I casi possibili sono:

$P$ è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
$P$ è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
$P$ è sulla circonferenza: la podaria è una cardioide;
$P$ è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

[modifica] Podaria della parabola

Esempi di podaria della parabola con poli in differenti posizioni

Consideriamo la parabola di equazione $y = x 2$ ; le sue equazioni parametriche sono $x = t$ e $y = t 2$ ; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo $P (0, a)$ che giace sull'asse della parabola:

$\left \{ \begin{matrix} x & = & \frac{2t(a+t^2}{1 + 4t^2} \\ y & = & \frac{t^2 (4*a-1)}{1 + 4t^2}. \end{matrix} \right.$

Alcune podarie notevoli sono:

$a = 1 / 4$ : il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
$a = 0$ : il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una cissoide di Diocle;
$a = - 3 / 4$ : il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la trisettrice di Mac Laurin.