Parabola (geometria)

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Un esempio di parabola

Indice

1 Definizione come sezione conica
2 Definizione metrica e costruzione geometrica
3 Espressione algebrica
4 Caratteristiche
5 Coefficienti della espressione polinomiale
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione come sezione conica

La parabola (dal greco: παραβολή) è una sezione conica generata dall'intersezione di un cono circolare e un piano parallelo a una retta generatrice del cono.

[modifica] Definizione metrica e costruzione geometrica

Una parabola può essere anche definita a partire da una retta r e un punto F, come luogo dei punti P tali che, detto R il punto proiezione ortogonale di P su r, sono uguali tra loro le lunghezze dei segmenti PF e PR.

Il punto F è detto fuoco della parabola individuata.
La retta r è detta direttrice della parabola.
La retta passante per F e ortogonale alla direttrice costituisce l'asse di simmetria della curva.
L'intersezione dell'asse di simmetria con la parabola, punto intermedio tra il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice, si dice vertice della parabola.

Questa definizione suggerisce un procedimento per tracciare una parabola servendosi di riga e compasso. (qui servirebbe figura)

[modifica] Espressione algebrica

In geometria analitica, servendoci delle coordinate cartesiane ortogonali, si trova come equazione generale di una parabola la seguente equazione quadratica:

$ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\;$

dove: $h 2 = a c$

Una espressione di una parabola piuttosto semplice è quella che diciamo espressione polinomiale in una variabile e che riguarda il caso in cui l'asse di simmetria della parabola è parallelo all'asse delle ordinate: in tal caso l'equazione generale si riduce alla:

$\, y = ax^2 + bx + c \,$

con $a \ne 0$ , $b$ e $c$ che sono numeri reali fissati detti coefficienti della parabola.

[modifica] Caratteristiche

Discriminante:

Δ = b 2 - 4 a c

Equazione dell'asse di simmetria:

$x = - \frac{b}{2a}$

Coordinate del vertice:

$\left( - \frac{b}{2a} , - \frac{\Delta}{4a} \right)$

Coordinate del fuoco:

$\left( - \frac{b}{2a} , \frac{1-\Delta}{4a} \right)$

Equazione della direttrice:

$y = - \frac{1+\Delta}{4a}$

[modifica] Coefficienti della espressione polinomiale

[modifica] Il coefficiente a

Il coefficiente a controlla la convessità della parabola:

a > 0 : concavità verso l'alto, vertice in basso
a < 0 : concavità verso il basso, vertice in alto
a = 0 : nessuna concavità: la parabola degenera in una retta

Il suo significato risulta evidente nel caso particolare (b = 0, c = 0) in cui l'equazione si riduce alla $y = a\cdot x^2$ .

[modifica] Il coefficiente b

$y = x 2 + b x + 2$

Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola, la retta verticale passante per il punto di ascissa -b/(2a). Da notare che, restando fisso il coefficiente c, che determina l'intersezione con l'asse delle ordinate, e facendo variare valore di b, la parabola passerà sempre per quel punto. In particolare, la retta tangente alla parabola nel punto di incontro con l’asse delle ordinate, ha pendenza pari a b. Questo significa che se b vale zero, l’asse della parabola coincide con l’asse delle ordinate. Mentre la derivata prima, potrà essere facilmente individuata in quanto il suo punto di incontro con l'asse delle ascisse sarà pari all'ascissa del vertice (-b/(2a)), mentre l'incontro con l'asse delle ordinate sarà pari al valore di b.

[modifica] Il coefficiente c

$y = x 2 - 4 x + c$

Come accennato, il coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate. Se il termine c è nullo, la parabola passa quindi per l'origine degli assi.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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Categorie: Sezioni coniche | Curve piane