Teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel
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Gli assiomi Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi (ZF) sono gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne.
Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem nel 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908 (teoria degli insiemi di Zermelo).
Il sistema assiomatico è scritto mediante un linguaggio del primo ordine; ha un numero infinito di assiomi poiché viene usato uno schema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di una classe in aggiunta a quello di un insieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasi teorema riguardo gli insiemi che può essere provato in un sistema, può essere provato nell'altro.
Il linguaggio di ZF include:
- simboli per variabili: x, y, z, x1, x2, x3, x4, ...
- costanti individuali:
- simboli per relazioni binarie: = ,
- simboli per connettivi logici, quantificatori e parentesi
Gli assiomi di ZF sono:
- Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
- Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme con nessun elemento. Si usa anche {} per denotare questo insieme vuoto.
- Assioma della coppia: Se x ed y sono insiemi, allora esiste un insieme contente x ed y come i suoi soli elementi, che denotiamo con {x,y} o {x} ∪ {y}.
- Assioma dell'insieme somma (o dell'unione): Per ogni insieme x, c'è un insieme y tale che gli elementi di y sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
- Assioma dell'infinito: Esiste un insieme x tale che {} è in x ed ogni qual volta y è in x, y ∪ {y}.
- Assioma dell'insieme potenza: Ogni insieme ha un insieme potenza. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y, tale che gli elementi di y sono esattamente i sottoinsiemi di x.
- Assioma di regolarità: Ogni insieme non-vuoto x contiene alcuni elementi y tali che x ed y sono insiemi disgiunti.
- Assioma di separazione (o assioma sottoinsieme): Dato ogni insieme ed ogni proposizione P(x), c'è un sottoinsieme dell'insieme originale contenente esattamente quegli elementi x per cui P(x) è vera. (Questo è uno schema assiomatico).
- Assioma di rimpiazzamento: Dato ogni insieme e qualsiasi corrispondenza, formalmente definita come una proposizione P(x,y) dove P(x,y1) e P(x,y2) implica y1 = y2, c'è un insieme contenente esattamente le immagini degli elementi dell'insieme originale (schema assiomatico).
- Assioma di scelta: Dato qualsiasi insieme di insiemi non vuoti mutualmente esclusivi, esiste almento un insieme che contiene esattamente un elemento in comune con ognuno degli insiemi non vuoti.
Sebbene la maggioranza dei metamatematici credono che questi assiomi siano consistenti (nel senso che da essi non deriva alcuna contraddizione), questo non è stato provato. Infatti, dal momento che essi sono la base della matematica ordinaria, la loro consistenza (se vera) non può essere provata dalla matematica ordinaria; questa è una conseguenza del secondo teorema di incompletezza di Gödel. D'altra parte, la consistenza della teoria degli insemi di Zermelo-Fraenkel può essere provata assumendo l'esistenza di un cardinale inaccessible.
[modifica] Voci correlate
- Teoria assiomatica degli insiemi
- Assiomi di Whitehead-Russell
