Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

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Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete Axiomatisierung der Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik.

Zur Geschichte: Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine Erweiterung der Zermelo-Mengenlehre von 1907. 1921 ergänzte Abraham Fraenkel das Ersetzungsaxiom. 1922 fügte er noch das Fundierungsaxiom hinzu und komplettierte damit das Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die er selbst als ZF-System bezeichnete. Die erste präzise prädikatenlogische Formalisierung der ZF-Mengenlehre (ohne Fundierung) schuf 1929 Thoralf Skolem.

Heute wird die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (engl. Zermelo-Fraenkel + Choice). In ihrer heutigen Form baut sie auf einer Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität auf und formuliert die Axiome als prädikatenlogische Aussagen mit dem undefinierten Elementprädikat $\in$ . ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben.

[Bearbeiten] Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

$\forall A,B: (A=B \iff\forall C: (C\in A \iff C\in B))$

2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

$\exist B: \forall A: \lnot (A \in B)$

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B, das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als $\varnothing$ geschrieben und leere Menge genannt.

3. Paarmengenaxiom: Wenn A, B Mengen sind, dann gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat.

$\forall A,B: \exist C: \forall D: (D\in C \iff (D=A \or D=B))$

Offenbar ist auch diese Menge C eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als {A,B}. Die Menge {A,A} wird üblicherweise als {A} geschrieben.

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von A sind.

$\forall A: \exist B: \forall C: (C\in B \iff \exist D: (D\in A \and C\in D))$

Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als $\bigcup A$ . Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung $A \cup B := \bigcup \{A,B\}$ definieren.

5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge $x \cup \{x\}$ enthält.

$\exist A: (\varnothing \in A \and \forall X: (X\in A \Rightarrow X \cup \{X\}\in A))$

Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch

$\mathbb{N}\,:=\, \{ \varnothing, \, \{\varnothing\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\} \, ,\ldots \}$

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind.

$\forall A: \exists\ P: \forall B: (B\in P \iff \forall C: (C\in B \implies C\in A))$

Die Menge P ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A und wird mit ${\mathcal{P}(A)}$ bezeichnet.

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.

$\forall A: (A\neq \varnothing \implies \exists B: (B\in A \land \lnot \exist C: (C\in A \land C\in B)))$

Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der nächsten enthalten ist, $x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni\dots$ , denn dann könnte man eine Menge $A = \{x_1, x_2, x_3, \dots \}$ bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes $x_i \in A$ ist $x_{i+1} \in x_i \cap A$ , die beiden Mengen sind also nicht disjunkt.

8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem einstelligen Prädikat P: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge von A, die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Für jedes einstellige Prädikat P gilt: $\forall A: \exist B: \forall C: (C\in B \iff C\in A \and P(C))$

Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit $\{C \in A|P(C)\}$ notiert.

9. Ersetzungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom für jedes zweistellige Prädikat F, das eine Abbildung repräsentiert, so dass aus F(X,Y) und F(X,Z) stets Y=Z folgt. Das einzige Y, für das F(X,Y) gilt, wird dann gewöhnlich als Y=F(X) geschrieben. Das Ersetzungsaxiom besagt dann: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Elemente genau die Bilder der Menge A unter der Abbildung F sind.

Für jede Abbildung F gilt: $\forall A: \exist B: \forall C: (C\in B \iff \exist D: (D\in A \and F(D, C)))$

Die Menge B ist durch F und die "Definitionsmenge" A eindeutig bestimmt und wird mit $\{ F(D) | D \in A \}$ bezeichnet.

Dieses von Fraenkel ergänzte Axiomenschema ist ein verallgemeinertes Aussonderungsaxiom.

Das Aussonderungsaxiom ist mit dem Ersetzungsaxiom beweisbar (Zermelo). Das Leermengenaxiom folgt aus dem Unendlichkeitsaxiom per Aussonderung (Fraenkel). Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom, dem Leermengenaxiom und dem Potenzmengenaxiom (Zermelo). Das heißt:

Die Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) wird schon durch die Axiome 1,4-7,9 vollständig beschrieben.

In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert:

10. Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.

$\forall A: ((\varnothing \not \in A)\ \wedge\ \forall X,Y,Z: ((X\in A\ \wedge\ Y\in A\ \wedge\ Z\in X\ \wedge\ Z\in Y) \Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow\;$

$\exist B : \forall X : (X \in A \Rightarrow \exist!\ Y : (Y \in X \wedge Y \in B))$

Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet ("ein Element von B auswählt").

Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.

[Bearbeiten] Primärquellen

Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908) S. 261-281
Fraenkel, Abraham, Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922) S. 230-237
Skolem, Thoralf, Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, 1929, in: selected works in logic, Oslo, 1970, S. 227-273
Zermelo, Ernst: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 29-47