Darbu sumos

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

[taisyti] Apatinė Darbu suma

Geometrinė apatinės Darbu sumos interpretacija.

Tegul funkcija $f (x)$ apibrėžta intervale $[a; b]$ . Suskaidome šį intervalą tokiu būdu:

$a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$

Gautų intervalų ilgius žymėsime Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida): \Delta x_i = x_i – x_{i-1} . Jų iš viso yra $n$ . Ilgiausio gabaliuko ilgį žymėsime $Δ$ .

Tokį intervalo skaidinį vadinsime $T$ . Apibrėžiame tokius taškus:

$m_i = \inf_{[x_{i-1}; x_i]} f(x)$

T.y. kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandame mažiausią funkcijos reikšmę. Sudarome tokią sumą:

$s(T) = \sum_{i = 1}^{n} f(m_i) \Delta x_i$ .

Šią sumą ir vadinsime apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio $T$ funkcija, t.y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidome intervalą $[a; b]$ . Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidome intervalą, t.y. nuo $T$ .

[taisyti] Viršutinė Darbu suma

Geometrinė viršutinės Darbu sumos interpretacija.

Viršutinę Darbu sumą apibrėžiame labai panašiai. Intervalą $[a; b]$ skaidome tokiu pat būtų ir pasirenkame tokius taškus:

$M_i = \sup_{[x_{i-1}; x_i]} f(x)$

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudarome sumą:

$S(T) = \sum_{i = 1}^{n} f(M_i) \Delta x_i$ .

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo $T$ . Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

[taisyti] Darbu sumų savybės

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

$S(T_1) \geq s(T_2) \; \forall T_1, T_2$ , t.y., kad ir kaip beskaidytume intervalą, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

$\underline{I} = \sup_T s(T)$ – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.

$\overline{I} = \inf_T S(T)$ – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

$\underline{I} \leq \overline{I}$
$\lim_{\Delta \rightarrow 0} s(T) = \underline{I}$ ir $\lim_{\Delta \rightarrow 0} S(T) = \overline{I}$ , t.y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.