مبرهنة القيمة الوسطى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

مبرهنة القيمة الوسطى هي نتيجة لمبرهنة رول.إن التغير الجزئي لكل دالة ذات متغير حقيقي متواصلة و قابلة للاشتقاق يقابل ميل إحدى مماساتها. و بأكثر دقة : النص : لكل دالة ذات متغير حقيقي f : [a, b] -> R حيث a < b، متواصلة على النطاق المغلق [a, b] و قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[، تؤكد مبرهنة القيمة الوسطى على وجود عدد حقيقي c موجود في النطاق ]a, b[ بحيث :

$f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

في الحقيقة، و تبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة $x \mapsto f(x) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a)$ في a و b واحدة. و بتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ و نظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

[تحرير] لامساواة القيمة الوسطى

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a < b. إذا كان :

f متواصلة على النطاق المغلق [a, b]
f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| < k،

فإن $\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k$ .

الإستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى و نضع |f'(x)| < k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

[تحرير] مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. و هو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

$(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,$

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من $\R$ في $\R^2$ قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة