Damcaniaeth setiau wirebol

Oddi ar Wicipedia

Mewn mathemateg, disgrifiad trylwyr o ddamcaniaeth setiau yw damcaniaeth setiau wirebol. Fe'i grëwyd er mwyn mynd i'r afael a'r croesddywediadau megis croesddywediad Russel a chroesddywediad Burali-Forti, a oedd yn ran annatod o ddamcaniaeth setiau fel y'i datblygwyd gan Frege ac eraill. Mae sawl system wirebol posib i ddamcaniaeth setiau, ond system Zermelo-Fraenkel gyda Gwireb Ddewis yw'r fwyaf poblogaidd o lawer ymysg mathemategwyr.

[golygu] Gwirebau ZF

Strwythur dros resymeg radd-gyntaf yw damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel. Setiau yw aelodau'r strwythur, a hafaledd a'r perthynas o aelodaeth yw'r perthynasau arno.

1) Gwireb estyniad: Mae dwy set yn hafal os yw'r un aelodau ganddynt.

$\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y)$

2) Gwireb sylfaen: Mae gan bob set x nad yw'n wag aelod y fel fod x ac y yn setiau digyswllt.

$\forall x [ \exists y ( y \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]$

3) Gwireb wahanu: Os yw z yn set a $\phi\!$ yn unrhyw briodwedd a all aelodau x o z gael, yna mae yna is-set y o z sy'n cynnwys yr x hynny yn z sydd ganddynt y priodwedd, a dim arall. Mae'r cyfyngiad i z yn angenrheidiol er mwyn osgoi gwrthddywediad Russel. Noder mai cyfres o wirebau yw hon, a bod yn fanwl gywir.

Ar gyfer unrhyw fformwla $\phi\!$ yn iaith ZFC gyda newidynnau rhydd ymysg $x,z,w_1,\ldots,w_n\!$ :

$\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow ( x \in z \land \phi ) )$

4) Gwireb bario: Os yw x ac y yn setiau, yna mae yna set sy'n cynnwys y ddwy ohonynt.

$\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)$

5) Gwireb uniad: I bob set $\mathcal{F}$ mae yna set A sy'n cynnwys pob set sy'n aelod o set sy'n aelod o $\mathcal{F}$ .

$\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \Rightarrow x \in A)$

6) Gwireb ail-osod: Ar gyfer pob ffwythiant ffurfiol f a'i barth yn set, mae yna set sy'n cynnwys amrediad f (namyn un amod i osgoi wrthddywediad). Cyfres o wirebau ydyw hon hefyd. Ar gyfer pob fformwla $\phi \!$ yn iaith ZFC gyda'i newidynnau rhydd ymysg $x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!$ :

$\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \Rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].$

Ystyr y meintiolydd $\exists ! y$ yw fod $y\!$ o'r fath yn bodoli, a'i bod yn unigryw namyn hafaledd.

Defnyddia'r gwirebau canlynol y nodiant $S(x) = x \cup \{x\} \!$ . Gellid profi o'r gwirebau uchod fod $S(x)\!$ yn bodoli a'i bod yn unigryw ar gyfer pob set $x\!$ . Os mae yna set yn bodoli o gwbl, maent hefyd yn ymhlygu fod y set wag $\varnothing$ yn bodoli a'i bod yn unigryw.

7) Gwireb anfeidredd: Mae yna set X sy'n cynnwys y set wag, a phrydbynnag mae y 'n aelod o X, mae S(y) hefyd yn aelod o X.

$\exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y (y \in X \Rightarrow S(y) \in X)\right )$

8) Gwireb set-pŵer: I bob set x mae yna set y sy'n cynnwys pob is-set o x.

$\forall x \exists y \forall z (z \subseteq x \Rightarrow z \in y)$

Mae $z \subseteq x$ yn dalfyriad o $\forall q (q \in z \Rightarrow q \in x)$ .

9) Gwireb ddewis: I bob set X mae yna berthynas deuol R sy'n iawn-drefnu X. Golyga hyn fod R yn drefn llinol ar X a bod elfen lleiaf dan R gan bob is-set an-wag o X.

$\forall X \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; X)$