Normaaldeler

Van Wikipedia

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler (synoniem: normale deelgroep) een deelgroep waarvan de nevenklassen op natuurlijke wijze een groep vormen, quotiëntgroep of factorgroep genaamd.

Inhoud

1 Definitie
2 Voorbeelden
3 Factorgroep
4 Normalisator

[bewerk] Definitie

Zij $(G,\cdot)$ een groep, en $D$ een deelgroep van $G$ . Men zegt dat $D$ een normaaldeler is van $G$ als voor ieder element $g\in G$ geldt

$g^{-1}\cdot D\cdot g\subset D$

Hier verstaan we onder $g^{-1}\cdot D\cdot g$ de verzameling

$\left\{g^{-1}\cdot d\cdot g|d\in D\right\}$

Men noteert dit feit vaak als volgt: $D\triangleleft G$

[bewerk] Voorbeelden

Als $G$ abels is, dan is elke deelgroep normaal omdat $g^{-1}\cdot d\cdot g=d$ .

Algemener is het centrum $Z (G)$ van een groep (de elementen die met ieder ander element commuteren), een normaaldeler van $G$ .

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met $n$ elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep $\mathcal{A}_n$ .

De kern van een isomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep $\mathcal{S}_3$ is de deelgroep $\left\{\hbox{id},(1 2)\right\}$ (de cyclische deelgroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat $(13)(12)(13) = (23)$

De alternerende groep $\mathcal{A}_5$ heet enkelvoudig of simpel omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep $S O (3)$ der rotaties in $\mathbb{R}^3$ vormen de rotaties om de $z$ -as een deelgroep die niet normaal is. Men noemt $S O (3)$ simpel omdat hij geen echte Lie-deelgroepen heeft die normaal zijn.

[bewerk] Factorgroep

Als $D$ een deelgroep is van $G$ , en $g\in G$ , dan noemt men

$gD:=\left\{g\cdot d|d\in D\right\}$

de linkernevenklasse van $D$ met vertegenwoordiger $g$ . De verzameling van alle linkernevenklassen van $D$ noteren we $G / D$ . Ze vormt een partitie van $G$ . Analoog voor $G\setminus D$ , de partitie der rechternevenklassen van $D$ . Als $G$ abels is, spreken we kortweg van nevenklassen.

Als $D\triangleleft G$ , dan kan als volgt een groepsbewerking op $G / D$ worden gedefinieerd:

$gD\cdot hD:=(g\cdot h)D$

(Om te bewijzen dat het resultaat niet afhangt van de gekozen vertegenwoordigers $g$ en $h$ , gebruiken we het feit dat $D$ normaal is)

De verzameling $G / D$ met deze groepsbewerking heet de factorgroep of quotiëntgroep. De afbeelding $G\to G/D:g\mapsto gD$ is een isomorfisme van groepen met $D$ als kern.