Rotatie (algemeen)

Van Wikipedia

Algemene rotatie

In een eerste bijdrage werd het geval besproken van de rotatie rond een as met vaste richting. Deze as mag bewegen, maar hij mag niet veranderen van richting. Ik heb dat eendimensionele rotatie genoemd. Het is absoluut nodig dat men het begin van dat eerste deel gelezen en begrepen heeft om dit vervolg te kunnen begrijpen. De algemene of driedimensionele rotatie is immers veel ingewikkelder dan de eendimenisonele, om verscheidene redenen. Vooreerst speelt alles zich af in 3 dimensies. Die moeten we echter in een perspectieftekening proberen voor te stellen. Wie weinig ruimtelijk inzicht heeft kan hiermede problemen hebben. Vervolgens gedragen de systemen die we hier bekijken zich absoluut niet zoals intuïtief verwacht. En tenslotte moet men beroep doen op enige meer gevorderde wiskunde, zoals matrices en vectoriële producten, om alles in formules te gieten.

We zullen proberen om eerst een kwalitatieve beschrijving en verklaring te geven van een paar fenomenen en daarna een meer grondige wiskundige aanpak.

Een eenvoudig voorbeeld van een situatie waarbij de eendimensionele aanpak niet meer werkt is gegeven in de figuur hiernaast. De rotatie-as van het wiel verandert voortdurend van richting. Dit valt dus niet onder de vorige formules.

Inhoud

1 Basiswet
2 Impulsmoment
3 Gyroscopisch effect
4 Trillende autowielen
5 Hoofdtraagheidsassen
6 Het rechterlid: de afgeleide van L
7 Kinetische energie - Behoud van impulsmoment
- 7.1 Kinetische energie
- 7.2 Behoud van impulsmoment

[bewerk] Basiswet

Men kan het rechterlid van de wet van Newton schrijven als m.a, maar ook als de afgeleide van de impuls p = m.v als:
$\sum_i \vec{F}_i = \frac {d\vec{p}}{dt}$
Op analoge manier is de basiswet voor de rotatie te schrijven als:
$\sum_i M_{P} \vec{F}_i = \frac {d\vec{L}_P}{dt}$

of in woorden: de som van de momenten van de uitwendige krachten moet gelijk zijn aan de verandering van het impulsmoment.
Bij de eendimensonele rotatie moeten we het moment nemen van alle krachten t.o.v. de rotatie-as. Hier moeten we het moment nemen t.o.v. een punt P. Voor de eenvoud van de formules voert men normaal een assenkruis in zodat dat punt de oorsprong van het assenkruis is. Wiskundig wordt dat moment dan gegeven door het vectoriële product van de positievector van het aangrijpingspunt van die kracht met de kracht. We vertellen later hoe dit juist moet. Eerste vraag is nu: wat is het impulsmoment in het algemene geval?

[bewerk] Impulsmoment

De notie van impulsmoment kwam ook reeds voor bij eendimensionele rotatie. Daar werd het impulsmoment geschreven als L = Iω. Hier moet men teruggrijpen naar de definitie als som van de momenten van de impulsen van alle (punt)massa's t.o.v. een punt:
$\vec {L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i \vec {v}_i$
Die v_i kan men echter schrijven in functie van de hoeksnelheid ω m.b.v. een vectorieel product als $\vec {v}_i = \vec {\omega} \times \vec{r}_i$ Als men dat invoert in de vorige formule krijgt men een behoorlijk complexe formule om uit te werken. Het resulaat kan eenvoudig voorgesteld worden, mits de complexiteit een beetje te verschuiven, als:
$\vec {L} = \left[ {\begin{matrix} {I_{xx} } & {I_{xy} } & {I_{xz} } \\ {I_{yx} } & {I_{yy} } & {I_{yz} } \\ {I_{zx} } & {I_{zy} } & {I_{zz} } \\ \end{matrix}} \right] . \left[ {\begin{matrix} { \omega _x } \\ { \omega _y } \\ { \omega _z } \\ \end{matrix}} \right]$
De 3 x 3 matrix noemt men de traagheidstensor. Men spreekt van een tensor omwille van de manier waarop de elementen veranderen bij verandering van het assenkruis. Het is altijd mogelijk om een assenkruis te kiezen, vast verbonden aan het voorwerp, zodat deze matrix vereenvoudigd wordt tot:

$\vec {L} = \left[ {\begin{matrix} {I_{xx} } & {0 } & {0 } \\ {0 } & {I_{yy} } & {0} \\ {0 } & {0 } & {I_{zz} } \\ \end{matrix}} \right] . \left[ {\begin{matrix} { \omega _x } \\ { \omega _y } \\ { \omega _z } \\ \end{matrix}} \right]= \left[ {\begin{matrix} {I_{xx} \omega _x } \\ {I_{yy} \omega _y } \\ {I_{zz} \omega _z } \\ \end{matrix}} \right]$

Het assenkruis waarin men deze eenvoudige vorm bekomt heet een hoofdtraagheidsassenkruis en de assen ervan zijn hoofdtraagheidsassen (sorry voor de zware termen!). In het voorbeeld hieronder werd een schuin assenkruis gebruikt omdat de assen dan hoofdtraagheidsassen zijn. Verder wordt nog uitvoerig gehandeld over hoofdtraagheidsassen.

Het traagheidsmoment uit de eendimensionele rotatie komt overeen met het element I_zz, het traagheidsmoment t.o.v. de z-as. Het algemene geval is dus minstens 3x zo ingewikkeld als het eendimensionele. De traagheidsmomenten t.o.v. de 3 assen worden nu gedefinieerd als:
$I_{xx} = \sum m_i.(y_i^2+z_i^2)$ of als $I_{xx} =\int (y_i^2+z_i^2) dm$ ,
en analoog voor de 2 andere. Bemerk dat $(y_i^2+z_i^2)$ gewoon het kwadraat is van de afstand van het punt tot de x-as. Zie traagheidsmoment voor tabellen met de traagheidsmomenten van enkel voorwerpen.

Uit bovenstaande formule volgt ook dat $\vec L$ en $\vec \omega$ normaal niet meer dezelfde richting hebben. Kijken we b.v. naar de situatie in voorbeeld 2.

rechthoekige plaat draaiend rond diagonaal

Een vector die ronddraait is een veranderende vector. Volkomen algemeen geldt dat als de afgeleide van een vector loodrecht staat op de vector, de grootte van de vector ongewijzigd blijft maar de richting continu verandert: de vector draait rond. Het meest bekende geval is de beweging met constante snelheid van een punt op een cirkel. De positievector van dat punt draait rond en de snelheidsvector is steeds loodrecht op de positievector. Maar ook de snelheidsvector draait rond in de ruimte van de snelheden. De verandering daarvan (de afgeleide) is de middelpuntzoekende versnelling en deze staat loodrecht op de snelheid (wijst naar het middelpunt). In beide bovenstaande figuren hebben we zo'n ronddraaiende impulsmomentvector.

Deze elementen zijn voldoende om een reeks interessante effecten te bespreken.

[bewerk] Gyroscopisch effect

Keren we even terug naar de eerste figuur. Het impulsmoment heeft een component volgens de z-as veroorzaakt door ω₂ en een component volgens de y-as veroorzaakt door ω₁. De z-component is constant, alleen de y-component draait rond. De top ervan heeft een snelheid evenwijdig aan de x-as en volgens de positieve zin ervan. Volgens de basiswet van de rotatie moet er een uitwendig moment geleverd worden in dezelfde richting en zin.

Op het wiel grijpen volgende krachten aan:
- het gewicht in het massacentrum
- een tegengestelde kracht van de grond om die op te vangen.
De som van deze beide krachten is nul en we kunnen ze verder vergeten.
Er is ook nog een kracht nodig die het centrum van het wiel naar binnen trekt en zo de middelpuntzoekende versnelling kan veroorzaken. Deze levert geen moment t.o.v. de oorsprong.

Het uitwendige moment kan alleen geleverd worden door een koppel van supplementaire krachten, één van de grond op het wiel(omhoog) en één in de bevestiging in de oorsprong omlaag. Door de rotatie gaat het wiel dus harder op de grond drukken.

Wanneer men het wiel maar aan 1 zijde ondersteunt, krijgt men een zeer eigenaardige reactie (zie figuur hiernaast). Het gewicht en de reactie in het steunpunt vormen een koppel met moment M, voor te stellen als een vector die horizontaal en naar achter gericht is (rechtsdraaiende schroef). Volgens de basiswet moet de punt van de impulsvector nu ook naar achter bewegen. Hij moet rond een verticale as beginnen draaien. Men noemt deze rotatie ook de precessie. Waar een wiel dat niet draait gewoon zou vallen, begint een draaiend wiel rond te draaien. Op het einde vindt men links naar video's van dit fenomeen.

We krijgen zo de eigenaardige situatie dat een moment loodrecht op de rotatie een rotatie uitlokt die opnieuw loodrecht staat op deze vectoren. Dit eigenaardige gedrag staat bekend als gyroscopisch effect en heeft zeer veel toepassingen in het dagelijkse leven.

Omgekeerd: als men een sneldraaiend voorwerp doet draaien om een as loodrecht op zijn rotatie, dan reageert het door te proberen weg te draaien volgens een rotatierichting loodrecht op de beide. Dit kan men gemakkelijk zelf vaststellen. Als men een draaiend fietswiel vasthoudt aan uiteinden van de as, met de as horizontaal, en men probeert het wiel te kantelen om de as verticaal te brengen, dan voelt men een eigenaardige reactie van het wiel. Als men probeert om één uiteinde omhoog en het ander omlaag te brengen, dan oefent men een koppel uit als op de figuur hiernaast. Het wiel zal proberen rond een verticale as te draaien. Normaal probeert men ogenblikkelijk om die ongewenste beweging te stoppen, wat betekent dat men nu horizontale krachten gaat uitoefenen op de as. Dat is precies wat nodig is om het wiel te doen kantelen, wat het dan ook zal doen.

Een sneldraaiend voorwerp laat veel moeilijker zijn richting veranderen dan een niet-draaiend voorwerp: er moet een groter moment op uitgeoefend worden en in een andere richting. Daarom geeft men kogels en andere projectielen een draaiende beweging. Daarom ook geeft men aan een discus of een frishbee een roterende beweging mee.

Wanneer een fietser bij het nemen van een bocht naar de binnenzijde van de bocht leunt, dan veroorzaken zijn gewicht en de verticale reactie van de grond ook een koppel dat de fietswielen de bocht doet nemen. De wielen van een fiets draaien echter niet snel en wegen niet veel, zodat dit effect niet zo belangrijk is. De situatie is totaal anders bij motoren. Daar draaien de wielen wel snel en ze zijn veel zwaarder. Motorrijders gebruiken het gyroscopisch effect op 2 manieren: om hun motor te doen hellen en om hem de bocht te doen nemen. Vanaf snelheden boven de 40 km/u zal een motorrijder bij het ingaan van de bocht een duwtje geven op zijn stuur in tegengestelde richting van de bocht. Dit zal het voorwiel niet doen draaien maar wel doen kantelen volgens de langsas van de motor. Als de motorrijder dan mee gaat hellen, creëert hij opnieuw een koppel dat helpt om zijn motor door de bocht te draaien.

Het gyroscopisch effect zorgt ook voor supplementaire krachten op de lagers van de turbines van straalvliegtuigen als die een bocht nemen.

Het effect wordt natuurlijk ook gebruikt in het gyrokompas en in gyroscopen voor automatische besturing. Voor wie filmpjes en veel meer informatie wil over het gyroscopisch effect in allerhande toepassingen kan vertrekken van http://www.gyroscopes.org/

[bewerk] Trillende autowielen

Rechthoekige plaats draaiend rond diagonaal

Wanneer men een nieuwe band laat zetten op een autowiel, dan wordt dat thans ook altijd uitgebalanceerd om te vermijden dat het wiel bij hoge snelheid gaat trillen. Waarvoor dit nodig is kan men begrijpen aan de hand van het tweede voorbeeld, de rechthoekige plaat die draait rond een diagonaal. De L-vector verandert voortdurend van richting en dat vraagt een moment loodrecht op de rotatie-as en de L-vector. Dit moment moet geleverd worden door 2 krachten in de lagers: de krachten F_A en F_B op de figuur hiernaast. Die krachten moeten meedraaien met de plaat.

Men kan de noodzaak van deze krachten ook begrijpen als men denkt in termen van middelpuntvliedende krachten (of traagheidskrachten). Wanneer de rechthoek draait, zullen de delen naast de as naar buiten willen bewegen alsof er een kracht F_T1 en F_T2 op werkt. Deze krachten moeten opgevangen worden door F_A en F_B. Men kan ook begrijpen dat als de plaat kon draaien rond haar middelpunt, ze zou draaien tot ze horizontaal ligt. Dan liggen de beide middelpuntvliedende krachten in elkaars verlengde en veroorzaken geen rotatie meer (moment is nul). Dan draait de rechthoek ook volgens een hoofdtraagheidsas en ligt L volgens de rotatie-as.

Conclusie: een voorwerp probeert altijd volgens een hoofdtraagheidsas te draaien. Als dat niet het geval is moeten er voortdurende krachten op uitgeoefend worden om het in de gevraagde positie te houden. Wanneer er enige elasticiteit is in de bevestiging zal dat aanleiding geven tot trillen of slingeren.

Bij een niet uitgebalanceerd wiel valt de hoofdtraagheidsas van het wiel niet samen met de rotatie-as. Door kleine gewichtjes toe te voegen kan men beide wel doen samenvallen en verdwijnt het trillen.

Bemerk dat de theorie van de ééndimensionele rotatie niets kan zeggen over dit trillen. Bij die theorie kijkt men immers alleen naar de componenten van de verschillende grootheden volgens de rotatie-as. Die theorie zegt niets over wat in de 2 andere dimensies gebeurt.

[bewerk] Hoofdtraagheidsassen

Hierboven werd de meest algemene vorm van de traagheidstensor gegeven met de formules voor de diagonaalelementen.

De nevendiagonaalelementen worden traagheidsproducten genoemd en worden berekend als:
$I_{xy} = -\sum m_i.(x_i.y_i)$ of als $I_{xy} = -\int (x.y) dm$
Deze tensor is een symmetrische matrix, d.i. I_xy = I_yx.

Men kan deze matrix visualiseren en dan bekomt men een ellipsoïde, d.i. het volume dat men bekomt door een ellips rond een hoofdas te laten draaien. Het lijkt dus een beetje op een rugbybal. Een ellipsoïde heeft 3 symmetrievlakken die loodrecht op elkaar staan. De snijlijnen van deze vlakken vormen 3 symmetrie-assen. Als men deze assen gebruikt om de traagheidstensor te bepalen, bekomt men altijd de eenvoudige diagonaalvorm. Een traagheidstensor kan men dus altijd herleiden tot een diagonaalvorm mits een gepast assenkruis te kiezen.

Wanneer een voorwerp zelf symmetrie-elementen bevat, dan kan men op basis daarvan een hoofdtraagheidsassenkruis vinden. De regels hiervoor zijn:
- elke symmetrie-as is een hoofdtraagheidsas, waar men ook de oorsprong kiest op die as;
- een as loodrecht op een symmetrievlak is een hoofdtraagheidsas als de oorsprong in het symmetrievlak ligt.

Om een assenkruis te gebruiken voor berekeningen volgens bovenstaande formules, moet de oorsprong van het assenkruis echter in het massacentrum vallen of in een stilstaand punt.

Men kan dit illustreren m.b.v. een homogene rechthoekige balk. Zulk een balk heeft drie symmetrievlakken, die 3 symmetrie-assen bepalen. Deze snijden elkaar in het massacentrum. Deze symmetrie-assen kan men dus gebruiken als hoofdtraagheidsassen (eerste figuur). Wanneer men de oorsprong van het assenkruis horizontaal verplaatst naar A, dan blijft het een hoofdtraagheidsassenkruis: de y-as is een symmetrie-as, de x- en z-assen staan loodrecht op een symmetrievlak en de oorsprong ervan ligt in het symmetrievlak (figuur 2). Echter voor de berekeningen is alleen het punt A bruikbaar want alleen dat is een stilstaand punt.

Wat gebeurt er als men het onderste hoekpunt als oorsprong neemt? Dat is een stilstaand punt, maar dan heeft men geen hoofdtraagheidsassenkruis meer. Alleen de x-as is nog een hoofdtraagheidsas. De traagheidsproducten I_yz = I_zy zullen verschillen van 0. Men kan ze berekenen als (met h=hoogte, b=breedte en d=dikte van de balk): $I_{yz} = -\int (y.z) dm = -\int_{-d/2}^{d/2} \int_{0}^{b} \int_{0}^{h} x.y.\rho \; dzdydx = -\frac {mhb}{4}$

De impulsmomentvector L wordt dan:
$\vec {L} = \left[ {\begin{matrix} {I_{xx} } & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & {-\frac{mhb}{4}} \\ 0 & {-\frac{mhb}{4} } & I_{zz} \\ \end{matrix}} \right] . \left[ {\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ {\omega} \\ \end{matrix}} \right] = \left[ {\begin{matrix}0 \\ {-\frac{mhb\omega}{4}} \\ {m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) } \end{matrix}} \right]$

Deze impulsmomentvector heeft dus een y-component en zal dus ronddraaien met de balk.

I_zz t.o.v. het hoekpunt werd hierbij afgeleid uit I_zz t.o.v. het massacentrum m.b.v. de formule van Steiner (zie eendimensionele rotatie). T.o.v. het massacentrum:
$I_{zz,C} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2)$
T.o.v. het hoekpunt: $I_{zz,P} = \frac{m}{12}(b^2 + d^2) + \frac{mb^2}{4} = m(\frac{b^2}{3} + \frac{d^2}{12})$

Er is nog een andere manier om L te berekenen. Volgens de verplaatsingsformule moet L in het onderste hoekpunt gelijk zijn aan de L berekend in het massacentrum vermeerderd met het moment van de impuls van het massacentrum t.o.v. dat hoekpunt. In formules:
$\vec{L} = \vec{L}_{mc} \quad + \quad \vec {r}_{mc} \; \times \; m\vec {v}_{mc} = I_{zz}\omega\vec {k} \; + \; \left[ {\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {0} & {\frac {b}{2}} & {\frac {h}{2}} \\ {-m\frac {b}{2}\omega} & {0} & {0}\\ \end{matrix}} \right] = -\frac {mhb\omega}{4} \vec{j} \; + \; m\omega (\frac {b^2}{3} + \frac {d^2}{12}) \vec{k}$
Met een totaal andere aanpak bekomt men precies hetzelfde als het vorige, zoals het hoort.

[bewerk] Het rechterlid: de afgeleide van L

Opdat de traagheidstensor onafhankelijk zou zijn van de tijd (tenminste bij onvervormbare voorwerpen), heeft men een assenkruis gebruikt vast verbonden aan het voorwerp. Als men de afgeleiden van de impulsmomentvector L berekent door differentiëren van de componenten in dat assenkruis, heeft men alleen de verandering van L binnen dat assenkruis. Men noemt dit de relatieve verandering. Om de absolute verandering te hebben, d.i. zoals iemand die ziet die buiten het assenkruis staat, moet men nog rekening houden met het feit dat de impulsmomentvector mee rond draait met het assenkruis, meegesleept wordt met de beweging van het assenkruis. Als een vector ronddraait beschrijft zijn eindpunt een cirkel. Bij een vlak systeem wordt de snelheid van een punt op een cirkel gegeven als r.ω . In 3 dimensies moet men een vectorieel product gebruiken: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ . Dit levert als uiteindelijke formule:
$\frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{abs} = \frac{d\vec{L}}{dt} \vert_{rel} \; + \; \vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L}$
De tweede term in deze formule kan men de sleepverandering noemen.

Bij de voorbeelden die tot nu toe gezien werden zijn de projecties van L in het bewegend assenkruis constant. De eerste term, de relatieve verandering is dus telken 0. De sleepverandering wordt voor het 2e voorbeeld:
$\vec{\omega}_{assenkruis} \times \vec{L} = \left[ {\begin{matrix} {\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ {\omega_x} & {\omega_y} & 0 \\ L_x & L_y & 0\\ \end{matrix}} \right] = (I_{yy} - I_{xx})\omega_x \omega_y \, \vec{k}$
Daar I_xx groter is dan I_yy ligt dat resultaat volgens de negatieve z-as. De punt van L beweegt op het getekende ogenblik inderdaad naar achter.

Er is één uitzondering op de regel dat het assenkruis meedraait met het voorwerp. Wanneer men een rotatiesymmetrisch voorwerp heeft, zoals het wiel in het 1ste voorbeeld, en dat voorwerp draait rond die symmetrie-as, dan zal men het assenkruis deze laatste rotatie NIET laten volgen. Het is duidelijk dat de traagheidsmomenten volgens de x- en z-as niet veranderen als het wiel draait. De massaverdeling t.o.v. die assen blijft dezelfde. Men bekomt dus reeds een constante traagheidstensor door het assenkruis alleen ω₂ te laten volgen. De impulsmoment vector is:
$\vec{L} = ( 0 , I_{yy}\omega_1 , I_{zz}\omega_2)$
Ook hier is de relatieve verandering 0 (de componenten zijn constant). De sleepverandering is:
$\left[ {\begin{matrix} {\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ 0 & 0 & -\omega_2 \\ 0 & L_y & L_z \\ \end{matrix}} \right] = \omega_2.L_y \, \vec{i} = I_{yy}\omega_1\omega_2 \, \vec{i}$
En dat is een resultaat volgens de positieve x-as, zoals uit de figuur verwacht wordt.

Nota 1. Als men het assenkruis toch volledig zou laten meedraaien met het wiel, dan moet men wel bedenken dat enige ogenblikken na de getekende stand, de z-as niet meer verticaal omhoog en de x-as niet meer horizontaal zouden zijn. Beide zouden iets linksom gedraaid zijn. De vector ω₂ blijft echter wel verticaal naar beneden gericht. Binnen het (bewegend) assenkruis moet men die dan beschrijven als een vector die met hoksnelheid ω₁ rond draait in het xz-vlak, maar in tegengestelde zin van ω₁. Het is als met iemand in de trein die de indruk heeft dat het station weg rijdt i.p.v. zijn trein. Dan zouden er wel afgeleiden zijn van ω₂ en dus een relatieve verandering van L. Deze termen zouden echter wegvallen tegen even grote maar tegengestelde termen in de sleepverandering. Het is dan natuurlijk efficiënter en veiliger om een aanpak te volgen waarbij deze termen nooit berekend worden. Dat gebeurt door het assenkruis niet te laten meedraaien met ω₁.

Nota 2. De rotatie rond de symmetrie-as, hier ω₁, noemt men de spilomwenteling (in het Engels : spin). In de literatuur wordt het verschil tussen de hoeksnelheid van een assenkruis dat volledig vast is aan het voorwerp of een assenkruis dat de spilomwenteling niet volgt, aangegeven door met een kleine ω of een grote Ω te werken. De hier gevolgde formulering met een ω_assenkruis voor de sleepverandering dekt beide gevallen en is zelfverklarend.

[bewerk] Kinetische energie - Behoud van impulsmoment

[bewerk] Kinetische energie

Wanneer de traagheidstensor gediagonaliseerd is, is de kinetische energie van rotatie gegeven door:
$E_{kin} = \frac{1}{2}(I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2)$
In het algemeen geldt: E_kin = ω^T.I.ω/2

Voor een vrij bewegend voorwerp zal men opnieuw beroep moeten doen op de (2e) stelling van König (zie eendimensionele rotatie):
E_kin = kinetische energie van de translatie van het massacentrum + kinetische energie van rotatie rond een as door het massacentrum.

[bewerk] Behoud van impulsmoment

Wanneer er geen uitwendige momenten op een voowerp werken, dan kan het impulsmoment van dat voorwerp zich niet wijzigen (basisformule!). Er geldt dan een behoud van impulsmoment. De basisformule is echter een vectoriële wet en dan kunnen er soms geen uitwendige momenten zijn t.o.v. één bepaald richting. Dan geldt er een behoud van het impulsmoment t.o.v. die richting (of: van de projectie van het impulsmoment op die richting).

In de dagelijkse werkelijkheid ondervinden alle voorwerpen een aantrekkingskracht van de aarde. Verticale krachten hebben echter geen moment t.o.v. een verticale as. Er bestaat dan ook een vrij spectaculaire proef i.v.m. het behoud van impulsmoment in verticale richting. De proef is ook in verschillende "exploratoria" aanwezig.

De proef gebruikt een persoon die plaats neemt op een stoel (of plateau) die gemakkelijk kan draaien rond een verticale as (een geperfectionneerde bureaustoel). Men geeft aan de persoon een wiel, met een as met 2 stevige handvatten. Soms wordt een fietswiel gebruikt waarvan de velg met lood gevuld is om een groter traagheidsmoment te bekomen. De persoon houdt de as eerst horizontaal en men brengt het wiel vrij snel aan het draaien. Dan vraagt men de persoon om de as verticaal te brengen. Tot zijn grote verbazing zal hij in tegenstelde zin van het wiel beginnen draaien. Brengt hij de as weer horizontaal dan stopt hij. Draait hij de as in de ander richting naar de verticale stand, dan draait hij in de andere richting.

Verklaring

De enige uitwendige krachten die op de persoon en het wiel werken zijn aantrekkingskrachten van de aarde. Dat zijn verticale krachten en ze hebben dus geen moment t.o.v. de verticale as van de stoel. Ze kunnen m.a.w. geen rotatie rond de as op gang brengen of die rotatie op enige manier beïnvloeden. Bij het begin van de proef is het impulsmoment volgens een verticale gelijk 0: de persoon draait niet en het wiel heeft een horizontaal impulsmoment. De som van het impulsmoment van de persoon en de verticale component van het impulsmoment van het wiel, berekend t.o.v. de as van de stoel, moet dus steeds 0 blijven. Daarom gaat de persoon, met het wiel in de handen, in tegenovergestelde richting van het wiel beginnen draaien. Een kort Quicktime filmpje over deze proef kan men vinden op Behoud van Impulsmoment

Het mechanisme hierachter is vrij eenvoudig. Uit het gedeelte over het gyroscopisch effect weten we dat er een verticaal moment moet uitgeoefend worden op het wiel om de as ervan rond een horizontale as te laten kantelen. De persoon ondervindt de reactie van het moment dat hij op het wiel uitoefent en begint daaardoor zelf te draaien.

Om te berekenen hoe snel de man zal draaien, heeft men het impulsmoment van het fietswiel t.o.v. de as van de stoel nodig. Hiervoor moet men beroep deon op de formule dat voor een vrij bewegend voorwerp geldt: