Rotatie (eendimensionaal)

Van Wikipedia

Bij rotatie kan men een onderscheid maken tussen de rotatie rond een as met vaste richting en de algemene rotatie. De eerste beweging kan beschreven worden met vrij eenvoudige formules, die sterk parallel lopen met de formules voor de lineaire beweging. Het algemene geval speelt zich af in 3 dimensies, doet beroep op vectoriële producten en matrixbewerkingen en is daardoor vele malen complexer.

Wanneer men met een fiets rechtdoor rijdt, eventueel over een vertragingsbult, dan valt de beweging van de wielen onder het eerste geval. De as beweegt wel, maar de richting ervan verandert niet. Wanneer men echter een in een boog rond een putje in het fietspad rijdt, dan valt de beweging onder het algemene geval. De beweging van veel draaiende onderdelen in machines valt ook onder de eerste beschrijving.

Bij rotatie rond een as met vaste richting zijn de formules ééndimensioneel. Men kan dus spreken van ééndimensionele rotatie. Dikwijls wordt deze beweging ook vlakke beweging genoemd, omdat alle punten van het voorwerp blijven bewegen in een vlak loodrecht op de rotatieas.

We hebben het hier uitsluitend over onvervormbare voorwerpen.

Inhoud

1 Grootheden
2 Basiswet
3 Formule van Steiner
4 Voorbeelden
- 4.1 Kracht werkend op een wiel
- 4.2 Schijf in een lus
5 Afgeleide wetten
- 5.1 Impulsmoment
- 5.2 Arbeid, potentiële en kinetische energie

[bewerk] Grootheden

We moeten spijtig genoeg beginnen met het verduidelijken van een reeks termen. Wanneer een voorwerp kan draaien rond een as, kan men zijn positie specifiëren via een hoek θ gemeten vanuit een referentiepositie. Als het voorwerp draait, dan heeft het een hoeksnelheid ω. Als die snelheid verandert, dan is er sprake van een hoekversnelling α. Men krijgt dus de volgende parallel tussen lineaire beweging of translatie en rotatie:

	translatie	rotatie
positie	positievector $\vec{r}$	hoek θ eenheid: radialen
eerste afgeleide	snelheid $\vec{v}$ m/s	hoeksnelheid ω rad/s
tweede afgeleide	versnelling $\vec{a}$ m/s²	hoekversnelling α rad/s²

Dit levert analoge formules als voor de lineaire beweging. Ook voor een eenparige rotatie geldt: θ(t)= θ₀ + ω.t
Voor een eenparig versnelde rotatie: θ(t) = θ₀ + ω₀.t + α.t²/2

Als vector wordt ω voorgesteld door een vector volgens de rotatie as. Bij rotatie rond een as met vaste richting zal ook α volgens deze as liggen. Er zijn dan maar 2 mogelijkheden voor de zin van beide. Volgens één richting zal men de waarden van ω en α als positief rekenen, volgens de andere als negatief. Zolang men geen vectoriële producten gebruikt, kan men vrij kiezen welke zin men positieve zin noemt.

Het moment van een kracht t.o.v. de as is gelijk aan het product van de component van de kracht in een vlak loodrecht op de as met de afstand van de as tot de drager van die component. In de meeste gevallen gaat het over krachten die werken in een vlak loodrecht op de rotatieas, b.v. als je op de pedalen van uw fiets duwt, zodat de component hierboven in feite de volledige kracht is. Dan krijgen we dus het klassieke moment = kracht x krachtarm.

In het algemeen kan men de beweging van een voorwerp (b.v. een fietswiel) beschrijven als de beweging van een referentiepunt (b.v. de as) en een rotatie van het voorwerp rond een as door dat referentiepunt. Het blijkt dat die rotatie onafhankelijk is van het referentiepunt, maar typisch voor het voorwerp. De formules voor het beschrijven van deze beweging worden sterk vereenvoudigd als men een as beschouwt die ofwel stilstaat ofwel door het massacentrum van het voorwerp gaat. In dat laatste geval zal men meestal de beweging moeten beschrijven als samengesteld uit 2 bewegingen: een beweging van het massacentrum + een rotatie rond een as door het massacentrum. Voorbeelden vindt men infra.

[bewerk] Basiswet

Nemen we een zeer eenvoudig voorbeeld van 1 massa m op een afstand r van een as. Die as wordt aan het draaien gebracht door een riem die over een schijf loopt. De riem trekt aan de schijf met kracht F op afstand d van de as. Volgens de wet van de hefbomen kan men stellen dat deze kracht zich zal laten voelen op de massa als een kracht F' volgens de formule F.d = F'.r . Dit is in feite een momentenvergelijking die zegt dat het moment van F t.o.v. de as hetzelfde moet zijn als het moment van F' t.o.v. de as. Anderzijds is de versnelling a van de massa te schrijven als r.α (r.alfa). De wet van Newton zegt nu: F' = ma . Vermenigvuldigen we beide leden met r dan bekomen we: r.F' = r.m.a . Gebruiken we nu de bovenstaande gelijkheden dan kunnen we dit schrijven als :

    d.F = m.r².α

De grootheid m.r² heet het traagheidsmoment van m t.o.v. de as en wordt normaal voorgesteld als I. We kunnen de formule dus lezen als :
het moment van de kracht t.o.v. de as moet gelijk zijn aan traagheidsmoment x hoekversnelling.

Voor een meer realistische situatie met een reëel voorwerp i.p.v. juist één massa, zal men dit voorwerp beschouwen als opgebouwd uit kleine massa's. We moeten dan de som nemen over al deze massa's en als er meerdere krachten zijn ook over de momenten van alle krachten. Dit levert dan de echte basisformule voor de rotatie:

waarin M_asF staat voor het moment van F t.o.v. de as, I_as het traagheidsmoment is t.o.v. dezelfde as, gedefinieerd als $\sum m_i.r_i^2$ of als $\int r^2 dm$ , met r = afstand van elk punt tot de as.

Voor tabellen van traagheidsmomenten t.o.v. verschillende assen, zie oppervlaktetraagheidsmoment.

[bewerk] Formule van Steiner

Als men een traagheidsmoment uitgerekend heeft t.o.v. een as en men heeft later het moment nodig t.o.v. een andere as, dan kan men zich afvragen of men volledig opnieuw moet beginnen met de berekening of men zijn vorig resultaat nog kan gebruiken. Een zekere Steiner vond dat dat laatste kan, op voorwaarde dat men vertrekt van een as door het massacentrum. Dan is het traagheidsmoment t.o.v. elke parallelle as door punt P gegeven door:

    $I P = I c + m . d 2$

met m de totale massa van het voorwerp en d de afstand tussen de 2 assen. Voorbeelden infra.

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Kracht werkend op een wiel

We behandelen als 1e voorbeeld een wiel dat rolt zonder slippen.

a. Eerste aanpak: rotatie rond as door massacentrum

De rotatie vergelijking: r.W = I_C.α

Bemerk dat F niet voorkomt in deze vergelijking omdat F door de as wijst en dus geen moment heeft t.o.v. de as. We hebben nog aanvullende vergelijkingen nodig. We moeten dus ook de translatievergelijking opschrijven:

F - W = m.a_C

Er is een verband tussen a_C en α:

a_C = r.α

Als we het wiel als een volle schijf beschouwen, dan is I_C = m.r²/2

We krijgen dan als oplossing:

$\alpha = \frac{2F}{3mr}$

Bemerk dat er duidelijk wrijving moet zijn om het wiel te doen draaien.

Nota: De wrijving die nodig is om het wiel te doen draaien levert geen energie aan het wiel of onttrekt geen energie eraan. Het punt waarop de kracht werkt staat immers stil (en het komt verticaal toe en vertrekt verticaal, dus loodrecht op de kracht). In de praktijk is er wel energie nodig om iets te doen rollen en weet men dat een hard opgpompte fietsband gemakkelijker rolt. Dit komt omdat er in de praktijk altijd een contactvlak is i.p.v. alleen een contactpunt. Hierdoor zijn er verticale reactiekrachten van de grond die voor het centrum van het wiel passeren en dus een tegenwerkend moment veroorzaken.

b. Tweede aanpak: ogenblikkelijke rotatie rond het contactpunt met de grond

Het contactpunt P met de grond moet dezelfde snelheid hebben als de grond, anders is het wiel aan het slippen. P is dus een stilstaand punt en we kunnen de beweging ook beschrijven als een ogenblikkelijke rotatie rond P met zelfde α. We moeten nu echter met het raagheidsmoment t.o.v. P werken. Dit berekenen we met de formule van Steiner:

I_P = I_C + m.r² = 3m.r²/2

De rotatie vergelijking wordt nu:

r.F = I_P.α

Dit levert rechtstreeks hetzelfde resultaat.

Bemerk echter dat deze aanpak niet kan gevolgd worden bij een slippend wiel, want dan staat het punt P van het wiel niet stil. De eerste aanpak blijft wel geldig, maar het verband tussen a_C en α vervalt.

[bewerk] Schijf in een lus

Als 2e voorbeeld nemen we een schijf in een lus van een touw.

We beschrijven de beweging als een beweging van het massacentrum en een rotatie rond een as door het massacentrum. Als we voor momenten en hoekversnelling linksdraaiend als positieve zin nemen, dan bekomen we:

r.F - r.S = I_C.α

T.o.v. een as door het middelpunt van de schijf, doet de kracht F de schijf immers naar links en de spanning in het touw de schijf naar rechts draaien. Het gewicht wijst door die as en levert dus geen moment t.o.v. die as. Als de schijf omhoog beweegt, zal de spanning S in het touw kleiner zijn dan F. Er moet immers een netto moment zijn dat linksdraaiend is.

Dit levert 1 vergelijking in 2 onbekenden. We hebben nog bijkomende vergelijkingen nodig. Dit wordt weer de translatievergelijking. Met projectie op een as die omhoog gericht is krijgen we:

F + S - G = m.a_C

Er is een verband tussen a_C en α. Het touw links staat stil. We krijgen dus opnieuw:

a_C = r.α

De oplossing wordt:

$\alpha = \frac {2(2F - G)}{3mr}$

Men ziet dat F minstens de helft van het gewicht moet zijn om de schijf omhoog te laten bewegen.

$S = \frac {G + F}{3}$

Bij F = G/2 is ook S = G/2 en is α = 0: de schijf hangt in evenwicht.

Men zou dit voorbeeld ook kunnen oplossen door de rotatievergelijking op te schrijven t.o.v. het punt waar het touw de schijf raakt, analoog aan de tweede aanpak hierboven. Dat is immers ook een stilstaand punt. Dan zullen F en G voorkomen in de rotatievergelijking, maar S niet.

[bewerk] Afgeleide wetten

[bewerk] Impulsmoment

Bij translatie kent men grootheid mv die impuls of hoeveelheid van beweging heet. Bij rotatie heeft men een impulsmoment L (in het Engels "angular momentum", in het Duits "Drehimpuls", vandaar in het Nederlands ook soms "draaiimpuls"). Het impulsmoment is feitelijk gedefinieerd als de som van de momenten van de impulsen van alle punten van het voorwerp t.o.v. de rotatieas, maar deze formule kan bij vlakke beweging vereenvoudigd worden tot:

impulsmoment L_as = I_as.ω, met zin als ω.

Door de basiswet van de rotatie te integreren in de tijd komt men tot de impulsmomentstelling, die men voor 1 voorwerp kan opschrijven als:

waarbij het rechterlid te begrijpen is als het impulsmoment op ogenblik t₂ - het impulsmoment op ogenblik t₁.

Voor meerdere voorwerpen moet men alleen rekening houden met de momenten van de uitwendige krachten:

Als de som van de uitwendige momenten nul is, dan zal het totale impulsmoment constant zijn. Dit is de wet van behoud va impulsmoment:

In d praktijk berekent men het impulsmoment op een eerst ogenblik en op een tweede ogenblik en stelt dan dat beide moeten gelijk zijn

Voorbeeld:

Als voorbeeld bij behoud van impuls beschouwen we een satelliet die uitgezet wordt met een hoeksnelheid ω₀ . De satelliet bestaat uit een centraal deel en twee zonnepanelen. Bij het uitzetten zijn de zonnepanelen opgevouwen langs de satelliet, na het uitzetten worden ze open geplooid. Het centrale deel van de satelliet heeft een gegeven traagheidmoment I_C, de zonnepanelen hebben een massa m_p en afmetingen l x b.
Alhoewel de satelliet in een baan rond de aarde beweegt onder invloed van de aantrekkingskracht van de aarde, heeft deze aantrekkingskracht geen invloed op de rotatie van de satelliet rond zijn eigen as. De aantrekkingskracht op alle delen van de satelliet kunnen immers vervangen worden door 1 resultante die aangrijpt in het massacentrum en dat ligt op de rotatieas. Die kracht heeft dus geen moment t.o.v. die rotatieas, m.a.w. heeft geen invloed op de rotatie van de satelliet. De voorwaarde voor behoud van impulsmoment is dus voldaan.

Om het totale traagheidsmoment van de satelliet te berekenen, moeten we het traagheidsmoment kennen van een vlakke plaat. Hiervoor zijn echter 2 mogelijkheden:

ofwel t.o.v. van een as loodrecht op de plaat (as 1 in de figuur), als in de eindsituatie. Dan hebben we: I₁ = m(L² + B²)/12
ofwel t.o.v. van een as in het vlak van de plaat (as 2 in de figuur), als in de beginsituatie. Dan hebben we: I₂ = mB²/12

We moeten natuurlijk ook weer gebruikmaken van de formule van Steiner.

Beginsituatie

I_tot,begin = I_C + 2.(m_p.d²+ m_p.b²/12)

Eindsituatie:

I_tot,einde = I_C + 2.[m_p.(d + l/2)² + m_p.(b² + l²)/12]

Volgens het behoud van impulsmoment moet nu gelden:

I_tot,begin.ω₀ = I_tot,einde.ω_einde

Einde voorbeeld ---

Als men het impulsmoment moet berekenen van een voorwerp dat rond een bewegende as draait, t.o.v. van een punt P buiten de as door het massacentrum, dan geldt voor een vlak systeem:

L = M_P mv_C + I_C.ω

In sommige landen is dit bekend als de eerste formule van König.

Voorbeeld: het impulsmoment van de schijf uit het 2e voorbeeld t.o.v. het bevestigingspunt van het touw:

L = r.mv_C + I_C.ω = 3mr²ω/2

want v_C = rω

[bewerk] Arbeid, potentiële en kinetische energie

Men kan ook een arbeid W berekenen die een moment levert bij verdraaiing van het voorwerp:

$W = \int M.d\theta$

met M = moment van de kracht t.o.v. de rotatieas. Bemerk dat een koppel van krachten geen arbeid levert bij een translatie (de som van beide krachten is 0).

En vermogen wordt dan natuurlijk P = M.ω

Kinetische energie:

- stilstaande as:

E_k = I.ω²/2

- bewegende as:

E_k = mv_C²/2 + I_C.ω²/2

Dit is de (tweede) formule van König. De eerste term kan men zien als de bijdrage van de translatie kinetische energie.

Hoe kan men beroemd worden met zo'n eenvoudige formule? De uitwerking van (a+b)² levert 3 termen: a² + 2ab + b². Wanneer men de beweging van een voorwerp beschrijft als de beweging van een referentiepunt en een beweging t.o.v. dat referentiepunt, dan zou men in de kinetische energie normaal ook 3 termen aantreffen. Alleen als men als referentiepunt het massacentrum neemt, blijkt dat de kruistermen, van de vorm a.b, wegvallen en alleen de 2 zuivere kwadraten overblijven.

Voorbeeld: kinetische energie van het wiel uit het eerste voorbeeld We kunnen de beweging op 2 manieren beschrijven:

als een samenstelling van een translatie van het massacentrum met een rotatie rond een as door het massacentrum. Dan moeten we de formule van König gebruiken met in dit geval I_C = m.r²/2:

E_k = mv_C²/2 + m.r².ω²/4

daar v_C = r.ω wordt dit:

E_k = 3.m.r².ω²/4

als een zuivere rotatie rond het stilstaande punt P, het contactpunt met de grond. Dan moeten we het traagheidsmoment t.o.v. P gebruiken. We hebben dat hoger uitgerekend en vonden

I_P = 3.m.r²/2

Hiermede vinden we dadelijk:

E_k = I_P.ω²/2 = 3.m.r².ω²/4

Potentiële energie kan door rotatie opgestapeld worden in b.v. een spiraalveer:

E _p= C.θ²/2

met C een veerconstante, maar nu met dimensies Nm/rad

Men ziet dat er een perfect parallellisme is tussen de formules van translatie en rotatie. Samen met de hoger gegeven parallellen, ziet men dat de rol van massa overgenomen wordt door het traagheidsmoment, de rol van de kracht door het moment van de kracht.

Categorie: Mechanica