Rekke (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Opprydning: Denne artikkelen trenger en opprydning for å oppnå en høyere standard. Du kan hjelpe Wikipedia med å forbedre den.

En rekke blir i matematikken representert ved summen av en følge av ledd. Leddene kan bestå av tall eller variabler. En rekke blir dermed representert som en liste av tall med addisjonstegn mellom, slik som denne aritmetiske rekken:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

Det kan imidlertid også stå tegn subtraksjonstegn mellom tallene, men dette er egentlig bare en omskriving av tilfeller der konstantene eller variablene har negativt fortegn (slik at "A - B" egentlig er "A + (-B)"). Grunnen til dette er rekkens grunnleggende tilknytning til summen. Det finnes et tegn for å summere, eller addere, flere tall, nemlig summetegnet, men det finnes ikke noe tilsvarende tegn for å subtrahere flere tall. Med matematisk notasjon blir derfor en rekke for eksempel seendes slik ut:

$a + b + c + d + e$

Rekker må imidlertid ikke forveksles med følger, da det da ikke skal stå noe addisjons-tegn mellom hvert ledd, kun et komma. Dette kommaet symboliserer "også"; "2,3" leses "2 og 3". Følger innlemmes som oftest i klammer, {a, b, c, d, e}, og har mer å gjøre med mengder enn faktiske størrelser (slik rekker har).

[rediger] Klassifikasjon av rekker

Det finnes flere typer rekker. De kan være endelige (ha et endelig antall ledd) eller uendelige (ha et uendelig antall ledd). Uendelige rekker kan divergere, det vil si gå mot en uendelig eller minus uendelig sum. Endelige rekker konvergerer (går mot en endelig sum) så lenge ikke noen av leddene selv er uendelig eller minus uendelig. Det finnes en rekke tester som kan hjelpe til å avgjøre om rekker divergerer eller konvererer, disse kalles konvergenstester.

Ellers er det også andre måter å dele inn forskjellige rekker på, her kan vi nevne noen:

[rediger] Geometriske rekker

Dette er rekker på formen

$\sum_{n=1}^\infty {ar^{n-1}}=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4\cdots$

Altså rekker hvis ledd består av to forskjellige faktorer, en som går igjen i alle ledd, og en hvis potens forhøyes med 1 for hvert ledd.

[rediger] Teleskopiske rekker

Dette er rekker der leddene i rekka blir mindre og mindre for hvert ledd, derav navnet teleskopisk. Et eksempel på en slik rekke kan være

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots$

Akkurat denne teleskopiske rekka konvergerer til 1 (summen blir 1 om det er uendelig mange ledd).

[rediger] Harmonisk rekke

Denne kategorien har bare ett medlem, men kategoriseres likevel slik fordi den er spesielt viktig. Den harmoniske rekka er definert til å være

$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

På bakgrunn av konvergensen til den forige (teleskopiske) rekka, skulle man kanskje tro dette også konvergerte. Men det gjør den ikke, den divererer.

[rediger] Alternerende rekker

Alternerende rekker er rekker der annenhvert ledd er positivt og annerhver ledd er negativt. Altså at $a n a n + 1 < 0$ der $a n$ er ledd nummer n, og n er de naturlige tallene. Et eksempel på en slik rekke er

$1-2+3-4+5-6+7-\cdots$

Vi nevnte vel tidligere at rekker var en mengde tall eller symboler med addisjonstegn seg imellom, og at subtraksjonstegnet egentlig betød addisjon av negative ledd. Og det gjelder det, ellers ville ikke $a n a n + 1 < 0$ . Men vi skriver det slik, allikevel.

[rediger] Potensrekker

Dette er rekker som kan skrives på formen

$\sum_{n=0}^\infty {a_n(x-c)^n}=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots$

Det som skiller disse fra de geometriske, er at koeffisientene endrer verdi, og at det er x-c som er faktor, ikke r (eller x om man vil).

[rediger] Maclaurinrekker (Taylorrekker)

Maclaurin- og Taylorrekker brukes til å omdefinere funksjoner som det ikke er lett å finne nullpunktet av, til polynomer, som er enklere å jobbe med. Maclaurinrekker er et spesialtilfelle der funksjonen approksimeres rundt punktet 0 istedet for et annnet, gitt, punkt (som regel a). Maclaurinrekka for funksjonen

$\sin(x) \approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}}$

Mer generelt har vi at Taylorrekka for funksjonen f(x) omkring punktet a av grad k er

$P_n(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots=\sum_{k=0}^n {\frac{f^k}{k!}(x-a)^k}$

Dette er nok bare noen, men det er de mest vanlige, og kanskje de man støter på om man tar et nybegynnerfag i matematikk på universitetet. Det er selvsagt ikke slik at antall forskjellige typer rekker er begrenset av noe teorem (selv om det i praksis kanskje er vanskelig å definere et uendelig antall forskjellige rekketyper); rekkene over har etablerte navn fordi de brukes ofte, men oppstår det behov for å definere nye typer rekker er det ingenting i veien for å gjøre det.

[rediger] Noen kjente summer av rekker

Det er kjent at babylonerne kjente summen av endel rekker. De er ikke nødvendigvis de første til å kjenne til de, men man har i alle fall funnet at de visste om de. Eksempler på slike summer er:

$1+2+4+8+\cdots+2^n=2^n+(2^n-1)$

$1+2+3+4+5+\cdots+n=\frac{1}{2}(n^2+n)$

$1+4+9+16+\cdots+n^2=(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n)(1+2+3+\cdots+n)$

$1+8+27+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2$

Hvordan man kommer frem til slike er ikke åpenbart, spesielt ikke i en tid uten regnemaskiner. Men det er ikke vanskelig å bevise de ved hjelp av induksjon. En veldig viktig (uendelig) rekke, som faktisk er en definisjon på eksponentialfunksjonen $e x$ er

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$