Ciąg podstawowy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Zasugerowano, aby artykuł Ciąg Cauchy'ego zintegrować z tym artykułem lub sekcją.

Ciąg podstawowy – ciąg Cauchy'ego liczb wymiernych. Ciągi podstawowe służą do konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

[edytuj] Definicja

Ciąg podstawowy liczb wymiernych w_n to ciąg spełniający następujący warunek:

$\forall_{\varepsilon>0}\ \exist_{N_{\varepsilon}}\ \forall_{ n,\, m > N_{\varepsilon}}\ |w_n - w_m| < \varepsilon$

Słowami: dla dowolnej liczby dodatniej "epsilon" istnieje taka liczba naturalna "N", że wszystkie wyrazy ciągu w_n o numerach większych od "N" różnią się między sobą o mniej niż "epsilon".

Intuicja z tym związana jest taka, że "dalekie" wyrazy ciągu są "dowolnie blisko siebie".

[edytuj] Przykłady

Ciąg przybliżeń dziesiętnych dowolnej liczby rzeczywistej jest ciągiem podstawowym. Na przykład ciąg (π_n) = 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; ... kolejnych przybliżeń liczby π jest podstawowy.

Każdy ciąg stały liczb wymiernych jest podstawowy.

Ciąg w_n = (3n+1)/(n+2) jest podstawowy.

Ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby wymiernej jest podstawowy.

Rosnący (malejący) ciąg liczb wymiernych ograniczony z góry (z dołu) jest ciągiem podstawowym.

[edytuj] Granice ciągów podstawowych

Ciąg π_n z przykładu nie ma granicy wymiernej. Pozostałe ciągi przykładowe mają granice wymierne. Zbiór P wszystkich ciągów podstawowych można podzielić na dwa zbiory: ciągów, które mają granicę wymierną i ciągów, które nie mają granicy.

[edytuj] Własności ciągów podstawowych

Każdy ciąg podstawowy jest ograniczony.

Suma, różnica oraz iloczyn ciągów podstawowych jest ciągiem podstawowym. Iloraz ciągów podstawowych jest ciągiem podstawowym pod warunkiem, że ciąg, przez który dzielimy nie jest zbieżny do zera, a wszystkie jego wyrazy są różne od zera.

[edytuj] Liczby rzeczywiste

W zbiorze wszystkich ciągów podstawowych P określona poniżej relacja między ciągami:

$(w_n)\sim(u_n) \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty} (w_n-u_n) = 0$

jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, a więc jest relacją równoważności. Zbiór liczb rzeczywistych definiujemy jako przestrzeń ilorazową P / ~ tej relacji – liczby rzeczywiste są więc utożsamiane z klasami abstrakcji ciągów równoważnych. Każda liczba wymierna jest w tej konstrukcji utożsamiona z ciągiem stałym równym tej liczbie.

Definiując odpowiednio działania arytmetyczne na klasach i relacje nierówności można sprawdzić, że tak określony zbiór liczb rzeczywistych spełnia wszystkie aksjomaty ciała uporządkowanego. Co więcej, spełniony jest też aksjomat ciągłości, zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią metryczną zupełną, a zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych.