Implikacja materialna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Implikacja materialna forma zdaniowa powstała przez połączenie dwóch zdań $P$ (poprzednik implikacji) i $Q$ (następnik implikacji) spójnikiem implikacji $P \Rightarrow Q, P \rightarrow Q$ lub $P \supset Q$ .

Implikacja materialna jest często mylona z wynikaniem (implikacją logiczną).

Podczas wartościowania implikacja materialna przyjmuje wartości w zależności od wartości logicznych łączonych zdań. Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

$P$	$Q$	$P \implies Q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Implikacja spełnia poniższą równoważność:

$(P\implies Q) \iff (\neg Q \implies \neg P)$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Definicja klasyczna: Znak "<" przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, ze następnik jest niejako wpleciony, wwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci "p < q", czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), str. 140)

[edytuj] Przykłady

Intuicja: implikację można traktować jako obietnicę: "obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania". Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

Zdanie "Z tego, że Rzym jest stolicą Włoch wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika) jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
Zdanie "Z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
Zdanie "Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.